[Home] [Donate!] [Контакты]

Свойства взаимной индуктивности

Имеющие магнитную связь индуктивности находят очень широкое применение в разных областях техники. Например, они являются основой трансформаторов, значимость которых не нуждается в комментариях. Связанные индуктивности используются для решения множества задач в электронике. Они могут являться частью различных согласующих и частотно-избирательных цепей, используются для реализации обратных связей, для преобразования сигналов, осуществления гальванической развязки цепей (как вариант использования сигнальных трансформаторов), в некоторых типах датчиков и пр. Даже когда взаимная связь, казалось бы, практически отсутствует из-за значительной удалённости индуктивностей, она может иметь важнейшее техническое значение - так, металлоискатели, используя такую связь между своей катушкой и объектом поиска, позволяют обнаруживать металлические предметы, скрытые слоем почвы (бетона, скальных пород, воды, ила и т.д.).

Одной из численных характеристик связи между индуктивностями является взаимная индуктивность (также может использоваться величина - коэффициент связи, но об этом немного позже). Величина обладает интересными свойствами, которые здесь будут рассмотрены. Будет предложено очень простое их обоснование на основе энергетических соображений, которое возможно сделать, оставаясь в рамках теории цепей и не углубляясь в детали электродинамики явлений.

Оглавление
Свойства взаимной индуктивности
   Понятие взаимной индуктивности
   Основные свойства взаимной индуктивности
   Обоснование свойств взаимной индуктивности


Понятие взаимной индуктивности

При изменении тока, протекающего через катушку индуктивности, в ней наводится эдс самоиндукции. Для линейной индуктивности справедливо соотношение $$ e_{11} = - L_1 \frac {di_1} {dt}, $$ где e11 - эдс самоиндукции (двойной индекс "1" означает, что эдс возникает в первой катушке и причиной является изменение тока в ней же); L1 - индуктивность катушки; i1 - ток в катушке (рис. %img:l1).

Наведение эдс самоиндукции в индуктивности при изменении в ней тока.
Рис. %img:l1

Кроме того, если катушка L1 имеет магнитную связь с некоторой другой катушкой L2 (т.е. первая катушка находится в магнитном поле второй или, иначе говоря, магнитный поток, создаваемый L2, частично пронизывает L1), то изменения тока в L2 индуцируют эдс в катушке L1: $$ e_{12} = - M_{12} \frac {di_2} {dt}. $$ Коэффициент M12 - взаимная индуктивность (или коэффициент взаимной индукции). Взаимная индуктивность является величиной, характеризующей магнитную связь катушек. В данном случае она показывает, насколько сильно изменение тока во второй катушке влияет на эдс, наведённую в первой катушке.

Две индуктивности, имеющие магнитную связь.
Рис. %img:l1l2

С учётом сказанного, напряжение на L1 может быть выражено как $$ u_1 = - (e_{11}+e_{12}) = L_1 \frac {di_1} {dt} + M_{12} \frac {di_2} {dt}. $$ Аналогичное соотношение справедливо и для L2, а в целом две магнитно связанные индуктивности описываются следующей системой уравнений, всем известной из теории цепей: $$ \begin{cases} u_1 = L_1 \frac {di_1} {dt} + M_{12} \frac {di_2} {dt} \\ u_2 = M_{21} \frac {di_1} {dt} + L_2 \frac {di_2} {dt}. \end{cases} $$ При записи уравнений мы использовали два разных обозначения для коэффициента взаимной индукции, M12 и M21. Однако хорошо известно, что в действительности M12 = M21, т.е. взаимная индуктивность, характеризующая влияние второй катушки на первую, равна взаимной индуктивности, характеризующей влияние первой катушки на вторую. Значит, можно говорить просто о взаимной индуктивности M.

Независимость взаимной индуктивности от перестановки индексов или свойство взаимности часто воспринимается как нечто само собой разумеющееся, приводится просто как факт, без доказательства. Но на самом деле справедливость свойства не столь уж очевидна и требует обоснования.

Далее попробуем выполнить обоснование на основе энергетических соображений. Будем делать это в самом общем виде. В качестве отправной точки возьмём записанную выше систему уравнений, т.е. связанные индуктивности будем рассматривать на уровне теории электрических цепей, отвлечённо от вопросов электродинамики, без учёта каких либо конструктивных особенностей системы.

Но прежде несколько слов об используемом здесь соглашении о знаке M. В то время как индуктивность - всегда положительная величина, в отношении взаимной индуктивности существуют два подхода. Иногда M считают алгебраической величиной, которая может быть как положительной, так и отрицательной. Это бывает удобно, например, если M может изменяться (скажем, если катушки являются подвижными и нужно описать поведение цепи при повороте катушек относительно друг друга). Но чаще всего оказывается более предпочтительным другой подход. При фиксированном значении взаимной индукции, всегда можно выбрать положительные направления токов для связанных индуктивностей таким образом, что M будет положительной величиной. Для этого следует считать положительными токи, которые втекают в соответствующие выводы индуктивностей (соответствующие с учётом фазировки; при разомкнутых зажимах одной из индуктивностей и изменении тока через другую, напряжения на соответствующих выводах изменяются синфазно). На рис. %img:l1l2 соответствующие выводы обозначены точками.

Здесь будем придерживаться второго подхода, т.е. выбирать положительные направления для токов в связанных индуктивностях так, чтобы взаимная индуктивность была положительной.

Основные свойства взаимной индуктивности

1. Свойство взаимности (независимость взаимной индуктивности от перестановки индексов). Для двух связанных индуктивностей, как уже было отмечено выше, справедливо равенство $$ M_{12} = M_{21}. $$ Кстати, свойство взаимности остаётся справедливым и для случая нескольких связанных индуктивностей, \(M_{kn}=M_{nk}\), но здесь ограничимся рассмотрением только двух индуктивностей.

2. Максимально возможное значение взаимной индуктивности между двумя катушками не может превышать среднего геометрического их индуктивностей: $$ M \le \sqrt{L_1 L_2}, $$ где L1, L2 - индуктивности катушек. Это означает, что как бы мы ни старались увеличить связь между двумя катушками, скажем, сближая их, взаимная индуктивность не может получиться больше указанной величины.

Свойство даёт нам возможность ввести другую удобную величину, характеризующую степень связи двух индуктивностей - коэффициент связи k, $$ k = \frac M {\sqrt{L_1 L_2}}. $$ Величина k безразмерная, может принимать значения от 0 до 1. Величине 0 соответствует полное отсутствие магнитной связи между индуктивностями. Коэффициент, равный 1, говорит о совершенной связи между двумя индуктивностями (магнитный поток одной катушки полностью пронизывает другую).

Нулевой коэффициент стремятся получить, если требуется максимально развязать между собой некоторые участки цепи, когда их взаимное влияние препятствует нормальной работе устройства. К единичному коэффициенту стремятся, когда задача состоит в наиболее эффективной передаче энергии от одной индуктивности к другой посредством магнитного поля (например, в трансформаторах).

3. Энергия, запасённая системой двух магнитно связанных индуктивностей равна $$ W=\frac {L_1 i_1^2} 2 + \frac {L_2 i_2^2} 2 + M i_1 i_2. $$ Данное соотношение с натяжкой можно отнести к свойствам собственно M, но всё же оно приведено здесь, потому как два предыдущих свойства очень просто обосновать в процессе вычисления W.

Заметим, что токи в формуле - алгебраические величины, в зависимости от выбранных положительных направлений в цепи, они могут быть как положительными, так и отрицательными. Поэтому энергия, запасённая двумя связанными индуктивностями, может быть как больше, так и меньше энергии двух независимых катушек с такими же индуктивностями при таких же токах через них.

Обоснование свойств взаимной индуктивности

Для обоснования перечисленных выше свойств взаимной индуктивности, вычислим энергию, запасённую системой из двух связанных индуктивностей.

Но прежде, в качестве упражнения, поясняющего используемый для вычисления подход, найдём энергию одиночной индуктивности L1. Напряжение на индуктивности $$ u_1 = L_1 \frac {di_1} {dt}. $$ Тогда мощность, передаваемая из цепи в индуктивность $$ p_1 = u_1 i_1 = L_1 i_1 \frac {di_1} {dt}, $$ а энергия, передаваемая за промежуток времени между моментами t1, t2 $$ \Delta W_1 = \int\limits_{t_1}^{t_2} p_1 dt = L_1 \int\limits_{t_1}^{t_2} i_1 \frac {di_1} {dt} dt = L_1 \int\limits_{i_{11}}^{i_{12}} i_1 di_1, $$ $$ \begin{equation} \Delta W_1 = L_1 \int\limits_{i_{11}}^{i_{12}} i_1 di_1, \label{w1m} \end{equation} $$ здесь мы перешли к новым пределам интегрирования i11, i12, соответствующим току через индуктивность в моменты времени t1 и t2. Интегрируя, получаем $$ \Delta W_1 = \frac {L_1 i_{12}^2} 2 - \frac {L_1 i_{11}^2} 2. $$

Получаемая индуктивностью за рассматриваемый промежуток времени энергия может быть как больше нуля (если i1(t2) > i1(t1)), так и меньше нуля (если i1(t2) < i1(t1)). Иначе говоря, индуктивность может получать энергию из цепи, к которой подключена, а может отдавать запасённую энергию в цепь. Идеальная индуктивность запасает получаемую энергию без потерь: как видно из формулы, если величина тока через индуктивность возвращается к начальному значению, полученная энергия оказывается равной 0, т.е. запасаемая во время роста тока энергия, полностью возвращается в цепь при снижении тока.

Из формулы получаем, что если в начальный момент ток через индуктивность равен 0 (и запасённая энергия равно 0), то энергия, запасённая в индуктивности в любой момент времени составит $$ W_1=\frac {L_1 i_1^2} 2. $$ Эта энергия зависит только от индуктивности катушки и величины тока в данный момент (в квазистационарном приближении). Величина не может быть отрицательной (индуктивность может отдавать запасённую энергию, но не является генератором - не может отдать больше, чем было запасено перед этим).

Теперь перейдём к вычислению энергии, запасаемой системой из двух связанных индуктивностей, которая описывается уравнениями (\ref{sys}). Пока мы предполагаем, что коэффициенты взаимной индукции в уравнениях могут быть различными. $$ \begin{equation} \begin{cases} u_1 = L_1 \frac {di_1} {dt} + M_{12} \frac {di_2} {dt} \\ u_2 = M_{21} \frac {di_1} {dt} + L_2 \frac {di_2} {dt}. \end{cases} \end{equation} \label{sys} $$ Получаемая из цепи мощность равна сумме мощностей, получаемых каждой из индуктивностей: $$ p = p_1 + p_2 = u_1 i_1 + u_2 i_2, \\ p = L_1 i_1 \frac {di_1} {dt} + M_{12} i_1 \frac {di_2} {dt} + M_{21} i_2 \frac {di_1} {dt} + L_2 i_2 \frac {di_2} {dt}. $$ Пусть в начальный момент токи через индуктивности равны 0, запасённая энергия отсутствует. Тогда запасаемая связанными индуктивностями энергия к некоторому моменту времени \(\tau\) составит $$ W(\tau) = \int\limits_{0}^{\tau} p dt = \\ = \int\limits_{0}^{\tau} \left( L_1 i_1 \frac {di_1} {dt} + M_{12} i_1 \frac {di_2} {dt} + M_{21} i_2 \frac {di_1} {dt} + L_2 i_2 \frac {di_2} {dt} \right) dt, $$ $$ \begin{equation} W(\tau) = L_1 \int\limits_{0}^{\tau} i_1 di_1 + M_{12} \int\limits_{0}^{\tau} i_1 di_2 + M_{21} \int\limits_{0}^{\tau} i_2 di_1 + L_2 \int\limits_{0}^{\tau} i_2 di_2. \label{wp1} \end{equation} $$ Для простоты записи, мы не переходим к новым пределам интегрирования (как в (\ref{w1m})), поскольку выражение вида $$ \int\limits_{t_1}^{t_2} i_x di_y $$ будем считать просто краткой формой $$ \int\limits_{t_1}^{t_2} i_x(t) d(i_y(t)) $$ и при вычислениях в нужный момент всегда сможем перейти к требуемым величинам.

Первое и последнее слагаемое в (\ref{wp1}) вычисляются элементарно, получаемый для них результат совпадает со значением энергии для уединённой индуктивности, т.е. \(L i^2/2\). Тогда получаем $$ W(\tau) = \frac {L_1 i_1^2(\tau)} 2 + \frac {L_2 i_2^2(\tau)} 2 + M_{12} \int\limits_{0}^{\tau} i_1 di_2 + M_{21} \int\limits_{0}^{\tau} i_2 di_1. $$ Если мы преобразуем один из интегралов в последнем выражении, используя метод интегрирования по частям, т.е. используя формулу $$ \int u dv = uv - \int v du $$ или для определённого интеграла $$ \int\limits_a^b u dv = \left. uv \right|_a^b - \int\limits_a^b v du, $$ то приведём оба интеграла к одному виду и тем самым упростим выражение. Преобразуем, например, первый интеграл $$ \int\limits_{0}^{\tau} i_1 di_2 = \left. i_1 i_2 \right|_0^{\tau} - \int\limits_{0}^{\tau} i_2 di_1. $$ Или, с учётом того, что в начальный момент токи считаем равными 0, получаем $$ \int\limits_{0}^{\tau} i_1 di_2 = i_1(\tau) i_2(\tau) - \int\limits_{0}^{\tau} i_2 di_1. $$ Подставляем в выражение для расчёта накопленной энергии: $$ \begin{equation} W(\tau) = \frac {L_1 i_1^2(\tau)} 2 + \frac {L_2 i_2^2(\tau)} 2 + M_{12} i_1(\tau) i_2(\tau) + (M_{21} - M_{12}) \int\limits_{0}^{\tau} i_2 di_1. \label{wp2} \end{equation} $$

Как и в рассмотренном ранее случае уединённой индуктивности, так и здесь, запасённая энергия - это энергия магнитного поля индуктивностей, которая зависит от токов через индуктивности в данный момент и не зависит от токов в предшествующие моменты (в квазистационарном приближении). Полученное выражение отвечало бы этому условию, если бы не последнее слагаемое, интеграл в котором зависит от того, каким образом (по какому закону) изменялись токи через индуктивности во всём рассматриваемом промежутке времени, от начального до текущего момента. Требование однозначности энергии при заданных токах будет выполнено только в том случае, если \(M_{12} = M_{21}\), тогда последнее слагаемое в (\ref{wp2}) всегда равно 0.

Обозначая взаимную индуктивность просто как M, окончательно получаем формулу для вычисления запасённой энергии в любой момент времени $$ \begin{equation} W = \frac {L_1 i_1^2} 2 + \frac {L_2 i_2^2} 2 + M i_1 i_2, \label{w} \end{equation} $$ где i1, i2 - мгновенные значения тока через первую и вторую индуктивность в момент времени, для которого вычисляется W.

Итак, свойство взаимности подтверждено, энергия связанных индуктивностей вычислена. Но это ещё не всё, из (\ref{w}) можно сделать определённые выводы насчёт соотношения между индуктивностями и взаимной индуктивностью, если принять во внимание то, что всегда, (как и в случае одной индуктивности), запасённая энергия является неотрицательной величиной. То есть, при любых значениях i1, i2 и любых их знаках выполняется условие $$ W \ge 0 $$ или $$ \begin{equation} \frac {L_1 i_1^2} 2 + \frac {L_2 i_2^2} 2 + M i_1 i_2 \ge 0. \label{cond1} \end{equation} $$ Условие, повторим ещё раз, должно выполняться при любом сочетании токов через индуктивности. Если хотя бы один из токов равен нулю или токи имеют одинаковый знак, то, очевидно, условие выполняется, так как тогда каждое из слагаемых положительно (или равно 0). Поэтому рассмотрим случай, когда токи не равны нулю и имеют разные знаки, т.е. $$ i_1 i_2 \lt 0 \Rightarrow \\ \Rightarrow - i_1 i_2 \gt 0 \Rightarrow \\ \Rightarrow - i_1 i_2 = |i_1 i_2|. $$ Тогда условие (\ref{cond1}) может быть записано в виде $$ M \le \frac 1 {|i_1 i_2|} \left( \frac {L_1 i_1^2} {2} + \frac {L_2 i_2^2} {2} \right) $$ или $$ M \le \frac {L_1} {2} \frac {|i_1|} {|i_2|} + \frac {L_2} {2} \frac {|i_2|} {|i_1|}. $$ Полученное условие ограничивает максимально возможное значение взаимной индуктивности. Никакие конструктивные ухищрения не позволят добиться увеличения взаимной индуктивности сверх величины, соответствующей наименьшему возможному значению выражения $$ \frac {L_1} {2} \frac {|i_1|} {|i_2|} + \frac {L_2} {2} \frac {|i_2|} {|i_1|}. $$ Обозначим |i1|, |i2| соответственно как x, y (x > 0, y > 0) и найдём наименьшее значение функции $$ f=\frac {L_1} {2} \frac x y + \frac {L_2} {2} \frac y x. $$ Можно рассматривать её как функцию двух переменных или привести к функции одной переменной. Пусть $$ y = z x \\ (x \gt 0, y \gt 0 \Rightarrow z \gt 0), $$ тогда $$ f = \frac {L_1} {2} \frac x {z x} + \frac {L_2} {2} \frac {z x} x, \\ f = f(z) = \frac {L_1} {2} \frac 1 z + \frac {L_2} {2} z. $$ Нетрудно заметить, что $$ f(z) \rightarrow + \infty \text{ при} \\ z \rightarrow 0+ \text{ или } z \rightarrow + \infty, $$ тогда наименьшее значение функция f(z) будет принимать в точке минимума z0, которую найдём из условия $$ f'(z_0) = 0, \\ - \frac {L_1} {2} \frac 1 {z_0^2} + \frac {L_2} {2} = 0, \\ z_0^2 = \frac {L_1} {L_2}, $$ а с учётом того, что z > 0, $$ z_0 = \sqrt{\frac {L_1} {L_2}}. $$ Вычисляем наименьшее значение функции $$ f_{min} = f(z_0) = \frac {L_1} {2} \sqrt{\frac {L_2} {L_1}} + \frac {L_2} {2} \sqrt{\frac {L_1} {L_2}} = \frac {\sqrt{L_1 L_2}} 2 + \frac {\sqrt{L_1 L_2}} 2, \\ f_{min} = \sqrt{L_1 L_2}. $$ Как мы выяснили, $$ M \le f_{min}, $$ то есть $$ M \le \sqrt{L_1 L_2}. $$

Итак, вычисляя энергию связанных индуктивностей и рассматривая требования, которым она должна удовлетворять, нам удалось убедиться в справедливости важнейших свойств взаимной индуктивности.

author: hamper; date: 2020-07-14
  Рейтинг@Mail.ru