[Home] [Donate!] [Контакты]

Пусковой ток при включении трансформатора

При подключении трансформатора к сети (даже без нагрузки) ток через первичную обмотку трансформатора во время переходных процессов может достигать больших значений - во много раз превышающих ток в рабочем режиме полностью нагруженного трансформатора. Это явление хорошо известно и имеет простое объяснение; существует ряд более или менее успешных методов борьбы с ним. Тем не менее, для многих из тех, кто ранее имел дело только с трансформаторами крайне малой мощности (до нескольких десятков ватт), наличие очень больших пусковых токов в более мощных трансформаторах (несколько сотен ватт и более), становится неприятной неожиданностью.

Пусковой ток при включении трансформатора.
Рис. %img:xmp1. Бросок тока при включении трансформатора

Пусковые токи наблюдаются и при включении маломощных трансформаторов, но там они столь невелики (ограничиваются большим активным сопротивлением первичной обмотки), что обычно их не принимают в расчёт. Например, на рис. %img:xmp1 изображён переходный процесс (начальный участок, первые пять периодов) для трансформатора мощностью порядка 50 Вт, включаемого без нагрузки. Здесь рассматривается самый неблагоприятный случай включения, когда оно происходит в момент прохождения напряжения источника через 0. График напряжения источника в условном масштабе размещён внизу (здесь амплитуда соответствует действующему напряжению 230 В).

Оглавление
Пусковой ток при включении трансформатора
   Введение
   Причины появления пусковых токов
   Способы борьбы с пусковыми токами
   Переходные процессы при подключении индуктивности к источнику переменного напряжения
   Ссылки


Введение

Всем хорошо известна проблема зарядных токов, возникающих при подключении к источнику напряжения нагрузки со сглаживающими конденсаторами. А вот о том, что какие-то подобные неприятности могут возникнуть при включении в цепь индуктивности (например, первичной обмотки ненагруженного трансформатора в сеть переменного тока), многие даже не задумываются. Вероятно считается, что поскольку ток через индуктивность - неразрывная функция с точки зрения теории цепей, то если до подключения индуктивности ток через неё равен нулю, то и в момент сразу после подключения он будет таким же, нулевым. А потом, видимо, всё как-нибудь само собой уладится.

И на самом деле, в начальный момент ток через индуктивность равен нулю (если до момента включения он был нулевым). Но далее начинается переходный процесс, который при подключении индуктивности к источнику переменного напряжения имеет некоторые интересные особенности. Если рассматривается линейная индуктивность, то во время переходного процесса ток по абсолютной величине в определённые моменты времени может достигать значения, вдвое превышающего амплитуду тока в установившемся режиме (конкретное значение зависит от момента включения).

Если индуктивность имеет ферромагнитный сердечник, то её можно считать линейной только в грубом приближении и только пока ток достаточно мал, чтобы не происходило насыщение сердечника. Точнее говоря, мгновенные значения тока должны соответствовать какому-то линейному участку на кривой намагничивания материала сердечника; в случае обычного трансформатора в рабочем режиме используется участок, не заходящий значительно в область насыщения. Но во время переходного процесса, за счёт того, что мгновенные значения тока могут превышать максимальные (амплитудные) значения в установившемся режиме, насыщение становится возможным. Тем более что с точки зрения оптимального использования материалов, минимизации размеров, массы и стоимости устройства, амплитуду магнитной индукции в установившемся режиме выгодно выбирать как можно большей, вблизи насыщения.

В результате, в моменты во время переходного процесса после включения, когда происходит насыщение сердечника, магнитная проницаемость материала резко уменьшается, а значит, резко падают индуктивность и реактивное сопротивление. Ток возрастает, что приводит к ещё более глубокому насыщению сердечника. Таким образом, формируется импульс тока очень большой амплитуды. В наиболее неблагоприятных случаях он в десятки раз превышает амплитуду тока первичной обмотки полностью нагруженного трансформатора в установившемся режиме.

Причины появления пусковых токов

Для простоты будем рассматривать трансформатор, работающий в режиме холостого хода, т.е. без нагрузки. Такой трансформатор эквивалентен просто индуктивности, образованной первичной обмоткой трансформатора. Соответственно, переходные процессы при включении ненагруженного трансформатора будем исследовать как переходные процессы в индуктивности. На рис. %img:mdl изображена эквивалентная схема, соответствующая рассматриваемой задаче. Сопротивление R на схеме соответствует внутреннему активному сопротивлению обмотки трансформатора. В это сопротивление следует также включить сопротивление соединительных проводов и внутреннее сопротивление источника переменного напряжения, если они слишком велики, чтобы ими можно было пренебречь.

Подключение индуктивности к источнику переменного напряжения.
Рис. %img:mdl

Чтобы объяснить появление пусковых токов, необходимо учесть несколько важных моментов.

Прежде всего, будем иметь в виду то, что при создании трансформатора стараются добиться минимальных потерь. В частности, стремятся к тому, чтобы активное сопротивление обмоток было по возможности малым. В результате, как правило, обмотки являются высокодобротными индуктивностями - их реактивное сопротивление на рабочей частоте много больше (по крайней мере, в несколько раз больше) активного сопротивления: $$ \omega L \gg R, $$ где \(\omega\) есть циклическая частота источника, т.е. \( \omega = 2 \pi f \).

С другой стороны, конструируя трансформатор, стремятся к экономии материалов (для минимизации размеров, массы и стоимости трансформатора). Для минимизации размеров сердечника и обмоток выгодно, чтобы амплитуда магнитной индукции в сердечнике была по возможности большей, обычно при её выборе ориентируются на значение около 70%..80% от индукции насыщения (рис. %img:b_h).

Кривая намагничивания для стали марки 3414.
Рис. %img:b_h

На рисунке жёлтым прямоугольником выделена область, содержащая участок кривой намагничивания, используемый в установившемся режиме работы трансформатора. Здесь предполагается, что сердечник выполнен из электротехнической стали марки 3414 (по ГОСТ 21427.1-83, при напряжённости магнитного поля 2500 А/м, магнитная индукция составляет не менее 1.88 Тл для этой стали). Петлю гистерезиса считаем достаточно узкой, чтобы в первом приближении наличием гистерезиса можно было пренебречь.

Наличие ферромагнитного сердечника делает нелинейной индуктивность, образованную обмоткой трансформатора. Но с другой стороны, при обычных для трансформатора уровнях амплитуды магнитной индукции, в грубом приближении, возможно использовать линейную модель.

Из теории электрических цепей мы знаем, что при подключении линейной индуктивности к источнику переменного напряжения, возникает переходный процесс, во время которого, при определённых условиях, пиковые значения тока через индуктивность могут вдвое превышать амплитуду тока в установившемся режиме (по крайней мере, это справедливо для высокодобротных индуктивностей). Конечно, пиковое значение, равное удвоенной амплитуде тока холостого хода - это совсем не те огромные броски тока, которые наблюдаются при включении трансформаторов в сеть. Но удвоенному значению тока соответствует удвоенное значение напряжённости магнитного поля, а этого более чем достаточно для вывода сердечника в область насыщения, с учётом того, что в установившемся режиме он и так работает с заходом в области, граничащие с областью насыщения.

Итак, с учётом сказанного, причина возникновения больших пусковых токов при включении трансформатора становится совершенно очевидной. Из соображений минимизации размеров и массы трансформатора, для его сердечника выбирают режим, при котором амплитуда магнитной индукции не намного меньше индукции насыщения. При подключении к источнику переменного напряжения, возникает переходный процесс, во время которого пиковый ток через индуктивность может вдвое превышать амплитуду тока в установившемся режиме, это справедливо для линейной индуктивности. Но в нашем случае рост тока приводит к выраженному проявлению нелинейных свойств индуктивности с ферромагнитным сердечником. Удвоение тока означает удвоение напряжённости магнитного поля, а значит, сердечник выходит в область насыщения. Магнитная проницаемость материала сердечника резко падает, соответственно очень сильно уменьшается реактивное сопротивление обмотки, ток через обмотку возрастает ещё больше. Как было указано, активное сопротивление обмотки мало по сравнению с индуктивным сопротивлением в нормальном режиме, поэтому при резком уменьшении реактивного сопротивления появляются импульсы тока с очень большими пиковыми значениями.

Следует отметить, что не каждое включение обязательно сопровождается одинаково большими пусковыми токами. Дело в том, что характер переходных процессов зависит от начальной фазы источника переменного напряжения (фазы в момент включения). Далее покажем, что наибольшие токи достигаются при подключении в момент, когда напряжение источника проходит через ноль. Если же подключить трансформатор (индуктивность) в момент, когда напряжение источника достигает амплитудного значения, переходный процесс отсутствует вовсе, сразу начинается работа в установившемся режиме. Соответственно, при подключении в некоторые промежуточные моменты между указанными крайними вариантами, будет наблюдаться более или менее выраженный переходный процесс, и в случае насыщения сердечника - появляться большие или меньшие пусковые токи. Таким образом, если производить включение трансформатора в произвольные, случайные моменты времени, то некоторые включения могут происходить вполне "спокойно", если в этот момент мгновенное напряжение источника по абсолютной величине находится вблизи амплитудного значения.

Более детальный анализ показывает, что присутствие нагрузки, по крайней мере, чисто активной, не изменяет принципиально характер переходных процессов. Наблюдаются небольшие количественные изменения: переходный процесс оказывается менее продолжительным, пиковые значения тока несколько ниже. Что можно объяснить внесением дополнительного эквивалентного сопротивления в цепь первичной обмотки при наличии нагрузки. Что касается установившегося режима, то, как известно, амплитуда магнитной индукции в сердечнике трансформатора практически не зависит от нагрузки и примерно равна амплитуде магнитной индукции на холостом ходу. А потому, если в установившемся режиме на холостом ходу нет насыщения сердечника, то оно не будет происходить и в нагруженном трансформаторе.

Способы борьбы с пусковыми токами

Зачастую наличие пускового тока допустимо и специальных мер по борьбе с ним не требуется. Но если он оказывается слишком велик, нетрудно найти способы его ограничения. С учётом причин данного явления, можно предложить следующие варианты: изменение конструкции трансформатора таким образом, чтобы переходный процесс при включении не приводил к насыщению сердечника; выбор благоприятного момента включения; первоначальное включение через ограничивающий ток резистор с последующим замыканием этого резистора.

1. При проектировании трансформатора можно примерно в 1.5..2 раза снизить амплитудное значение магнитной индукции в сердечнике (в установившемся режиме) относительно традиционно принятых значений. Тогда во время переходного процесса, насыщения сердечника не происходит и проблема пусковых токов полностью устраняется. На практике это достигается соответствующим увеличением числа витков для сердечника данного сечения.

В самом деле, если считать, что амплитуда напряжённости магнитного поля в сердечнике на холостом ходу $$ H = \frac {n I} l, $$ то амплитуда магнитной индукции $$ B = {\mu}_0 \mu H = \frac {{\mu}_0 \mu n I} l, $$ где \({\mu}_0\) - магнитная постоянная; \( \mu\ \) - магнитная проницаемость материала сердечника; n - количество витков; I - амплитуда тока в обмотке; l - средняя длина магнитной линии в магнитопроводе (или длина магнитопровода, с целью грубой оценки можно пренебречь тем, что линии, проходящие через разные точки сечения магнитопровода, имеют разную длину). Амплитуду тока холостого хода можно выразить через реактивное сопротивление индуктивности обмотки и амплитуду напряжения источника, к которому подключена индуктивность (активным сопротивлением пренебрегаем, считая индуктивность высокодобротной): $$ I \approx \frac U {2 \pi f L}, $$ индуктивность L примем равной $$ L = \frac {{\mu}_0 \mu n^2 S} l $$ (S - площадь поперечного сечения магнитопровода). Тогда окончательно получаем $$ B = \frac {{\mu}_0 \mu n} l \frac {U l} {2 \pi f {\mu}_0 \mu n^2 S} = \frac U {2 \pi f n S} $$ или $$ n=\frac U {2 \pi f S B}, $$ т.е., действительно, меньшему значению амплитуды B при прочих равных условиях соответствует большее количество витков n.

Однако предложенный способ устранения пусковых токов довольно затратен. Увеличение количества витков в обмотках означает увеличение длины провода, а значит объёма и массы обмотки. Кроме того, чтобы потери в обмотке трансформатора не увеличились при увеличении длины провода, необходимо соответственно увеличить сечение провода, т.е. размеры обмотки увеличиваются ещё в большей степени. В результате такая обмотка не поместится в окно исходного магнитопровода, значит, потребуется выбрать магнитопровод большего размера.

Трансформатор, полностью свободный от пусковых токов получается больше, тяжелее и дороже, чем обычный трансформатор такой же мощности.

2. Можно усложнить схему включения так, чтобы подключение трансформатора к сети происходило в наиболее выгодный момент - в момент, когда мгновенное напряжение в сети достигает амплитудного значения. Потребуется электронный ключ достаточной мощности (например, симистор) для быстрой коммутации трансформатора и схема управления. Задача усложняется тем, что напряжение в сети может быть сильно зашумлено, а кроме того, схема должна отрабатывать не только первоначальное включение, но и возможные кратковременные перебои в электроснабжении.

Развивая этот подход, путём совершенствования схемы управления и используя метод фазовой регулировки напряжения с помощью симистора, придём к системе ограничения тока независимо от причины его повышения сверх заданных пределов (пуск, перегрузка, короткое замыкание).

3. Можно ограничить пусковой ток за счёт токоограничивающего резистора, который через некоторое время после включения трансформатора замыкается накоротко. Здесь уже не требуется использование быстродействующих ключей (применимы медленные релейные схемы) и в целом схема включения получается проще. Возможные проблемы - как и в предыдущем случае, переходный процесс возникает не только при первоначальном включении, но и при восстановлении напряжения в сети после временных перебоев питания. Кроме того, пусковой ток не отсутствует полностью, но он ограничен определённым значением.

Ограничение пускового тока трансформатора с помощью термистора.
Рис. %img:ntc

В простейшем случае ток может быть ограничен подходящим NTC термистором (рис. %img:ntc). Но при повторных включениях, после отключения до последующего включения должно выдерживаться время в несколько десятков секунд, иначе термистор не успеет охладиться, его сопротивление будет оставаться низким и функцию ограничения тока он выполнять не будет.

4. Не требуется специальных мер для ограничения пускового тока, если его наибольшее значение допустимо как для сети, так и для трансформатора. При этом, если трансформатор достаточно мощный, может потребоваться использование более инерционных защитных автоматических выключателей (класса C) в цепи питания трансформатора, которые не успевают срабатывать за время переходного процесса.

Не требуется ограничивать пусковой ток маломощных трансформаторов - активное сопротивление их первичной обмотки столь велико (от десятков Ом до нескольких тысяч Ом у самых маломощных), что оно естественным образом ограничивает пусковой ток.

Переходные процессы при подключении индуктивности к источнику переменного напряжения

Поскольку этот вопрос тесно связан с проблемой пусковых токов, рассмотрим подробнее переходные процессы при подключении линейной индуктивности к источнику переменного напряжения. Будем анализировать переходный процесс в RL-цепи, образованной индуктивностью катушки L и её активным сопротивлением R (внутреннее сопротивление источника переменного напряжения и сопротивление соединительных проводов считаем малыми и пренебрегаем этими сопротивлениями, либо включаем их в состав R).

Индуктивность в цепи переменного тока.
Рис. %img:ml

Если u - мгновенное напряжение источника, то рассматриваемая электрическая цепь описывается уравнением $$ \begin{equation} u = iR + L \frac {di} {dt}, \label{eq1} \end{equation} $$ которое является линейным дифференциальным уравнением относительно i.

Из теории дифференциальных уравнений нам известно, что общее решение линейного уравнения представляет собой сумму общего решения соответствующего ему однородного уравнения и частного решения исходного уравнения. Или, в терминологии теории цепей, интересующая нас реакция цепи на внешнее воздействие равна сумме свободной и вынужденной (установившейся) составляющей, т.е. $$ i = i_1 + i_2, $$ где i1 - общее решение однородного уравнения (которое получается из исходного (\ref{eq1}), если положить u = 0), $$ \begin{equation} i_1 R + L \frac {di_1} {dt} = 0, \label{eqh} \end{equation} $$ i2 - частное решение исходного уравнения (\ref{eq1}).

Свободная составляющая i1 находится элементарно: $$ i_1 R + L \frac {di_1} {dt} = 0, \\ \frac {di_1} {dt} = - \frac R L i_1, \\ \frac {di_1} {i_1} = - \frac R L dt, \\ i_1 = A e^{-\frac R L t}, $$ где A - постоянная, определяемая начальными условиями.

Вынужденную составляющую i2 также не составляет труда найти. Допустим, мгновенное напряжение источника $$ \begin{equation} u = U \sin(\omega t + \phi), \label{equ} \end{equation} $$ где U - амплитуда источника; \( \omega \) - циклическая частота, \( \omega = 2 \pi f \); \(\phi\) - начальная фаза, т.е. величина, определяющая мгновенное значение напряжения источника в начальный момент времени (за начальный принимаем момент подключения индуктивности к источнику).

Как известно, при не слишком жёстких требованиях к свойствам цепи (которые здесь выполняются), установившаяся реакция (в данном случае - ток i2) на синусоидальное воздействие, также является синусоидальной, причём имеет ту же частоту. И может быть легко найдена, например, с помощью метода комплексных амплитуд.

Или можно поступить иначе. Подставим в уравнение в качестве искомой синусоидальную функцию с неизвестной амплитудой и фазой. То есть, вынужденную составляющую тока (установившуюся реакцию на внешнее воздействие) будем искать в виде $$ \begin{equation} i_2 = I \sin(\omega t + \alpha), \label{eqi2} \end{equation} $$ здесь I, \( \alpha \) - пока ещё неизвестные амплитуда и начальная фаза искомого решения. Для того чтобы найти эти величины, подставим выражение для i2 в качестве i в уравнение (\ref{eq1}). С учётом (\ref{equ}) получим $$ \begin{equation} U \sin(\omega t + \phi) = IR \sin(\omega t + \alpha) + I \omega L \cos(\omega t + \alpha). \label{eqs} \end{equation} $$

Как известно, выражение вида $$ a \sin x + b \cos x, $$ где a, b - произвольные постоянные, всегда можно преобразовать следующим образом: $$ a \sin x + b \cos x = \sqrt{a^2 + b^2} \sin(x + \psi), $$ где \(\psi\) определяется из условий $$ \cos \psi = a / \sqrt{a^2 + b^2}, \\ \sin \psi = b / \sqrt{a^2 + b^2}, $$ а если одновременно a = 0, b = 0, то \(\psi\) - любое число. Обосновать это преобразование чрезвычайно просто, подробнее об этом можно посмотреть в статье "Тригонометрические функции и формулы".

Применяя данное преобразование для правой части уравнения (\ref{eqs}), получаем уравнение вида $$ \begin{equation} U \sin(\omega t + \phi) = I \sqrt{R^2 + {\omega}^2 L^2} \sin(\omega t + \alpha + \beta), \label{eqss} \end{equation} $$ где $$ \begin{equation} \cos \beta = \frac R {\sqrt{R^2 + {\omega}^2 L^2}}, \\ \sin \beta = \frac {\omega L} {\sqrt{R^2 + {\omega}^2 L^2}}. \label{beta} \end{equation} $$ Равенство (\ref{eqss}) должно выполняться в любой момент времени t, что возможно, если только одновременно выполняются два условия: $$ \begin{cases} U = I \sqrt{R^2 + {\omega}^2 L^2}, \\ \phi = \alpha + \beta \end{cases} $$ что можно также записать как $$ I = \frac U {\sqrt{R^2 + {\omega}^2 L^2}}, \\ \alpha = \phi - \beta. $$ Величина \(\beta\) определяется из равенств (\ref{beta}) и представляет собой отставание по фазе тока от напряжения в рассматриваемой RL цепи. Как видим из (\ref{beta}), это отставание находится в пределах 0..\(\pi/2\). Если катушка индуктивности высокодобротная, т.е. $$ \omega L \gg R, $$ то отставание тока по фазе близко (чуть меньше) к четверти периода: $$ \beta \approx \pi/2. $$

Итак, возвращаясь к искомой функции (\ref{eqi2}), запишем $$ i_2 = I \sin(\omega t + \phi - \beta) $$ или $$ i_2 \approx I \sin(\omega t + \phi - \pi/2) $$ для высокодобротной катушки. И в том, и в другом случае под I подразумевается амплитуда тока через индуктивность в установившемся режиме, т.е. $$ I = \frac U {\sqrt{R^2 + {\omega}^2 L^2}} $$

Далее будем рассматривать только интересующий нас сейчас случай высокодобротной катушки, а значит $$ i_2 \approx I \sin(\omega t + \phi - \pi/2) $$ или $$ i_2 \approx - I \cos(\omega t + \phi). $$ Итак, мы нашли свободную и вынужденную составляющие реакции (тока в цепи) на воздействие (синусоидальное напряжение источника), а значит, можем записать общее решение для тока через индуктивность: $$ i = i_1 + i_2 \approx A e^{-\frac R L t} - I \cos(\omega t + \phi). $$ Постоянную A найдём из начальных условий. Если сделать вполне естественное предположение о том, что до подключения индуктивности к источнику ток в индуктивности отсутствовал, то можем записать $$ i(0) = 0, \\ A - I \cos \phi \approx 0, \\ A \approx I \cos \phi. $$

Тогда окончательно получаем, что ток в катушке $$ i \approx (I \cos \phi) e^{-\frac R L t} - I \cos(\omega t + \phi). $$ То есть, имеем переменную, синусоидальную составляющую тока с амплитудой I (ток в катушке в установившемся режиме) и затухающую по экспоненте составляющую с наибольшим по модулю значением \( |I \cos \phi| \).

Можно показать, что для катушки с высокой добротностью, в течение нескольких первых периодов колебаний источника, выполняется условие $$ e^{-\frac R L t} \approx 1, $$ а значит для некоторого промежутка времени, непосредственно следующего за моментом подключения индуктивности к источнику, выполняется соотношение $$ i \approx I \cos \phi - I \cos(\omega t + \phi). $$ Тогда пиковое (наибольшее по абсолютной величине) значение тока i, составляет $$ |i|_{max} \approx I |\cos \phi| + I = I (|\cos \phi| + 1). $$ Как видим, оно зависит от начальной фазы источника переменного напряжения. Может достигать 2 I, т.е. двойного значения амплитуды в установившемся режиме (рис. %img:t0), при условии, что \( \phi = 0 \) или \( \phi = \pi \). Иначе говоря, если в момент подключения индуктивности, мгновенное напряжение источника проходит через 0.

Переходный процесс при подключении индуктивности к источнику переменного напряжения (в момент включения напряжение проходит через 0).
Рис. %img:t0

Если же подключение происходит в момент достижения напряжением источника амплитудного значения, переходный процесс отсутствует, и цепь сразу начинает работать в установившемся режиме (рис. %img:t2). Очевидно, что в таком случае пиковое значение тока равно просто амплитуде тока в установившемся режиме.

Переходный процесс при подключении индуктивности к источнику переменного напряжения (в момент включения напряжение проходит через амплитудное значение).
Рис. %img:t2

Наконец, если в момент подключения индуктивности, мгновенное напряжение источника не равно нулю, но и не достигло амплитудного значения, то будет наблюдаться переходный процесс, во время которого пиковое значение тока будет больше I, но меньше 2I, где I - амплитуда тока в установившемся режиме (рис. %img:t3).

Переходный процесс при подключении индуктивности к источнику переменного напряжения (включение в произвольный момент).
Рис. %img:t3

На рисунках %img:t0, %img:t2, %img:t3 внизу в условном масштабе изображены графики напряжения источника, которые помогают проследить влияние начальной фазы напряжения на протекание переходного процесса в цепи.

Ссылки*

  1. Переходные процессы при включении силового трансформатора в сеть с синусоидальным напряжением
  2. Универсальная аппроксимация кривых намагничивания электротехнических сталей
  3. ГОСТ 21427.1-83 Сталь электротехническая холоднокатаная анизотропная тонколистовая. Технические условия (с Изменениями N 1-5)

* Если ссылка не работает, не забывайте о существовании веб-архива и поисковых систем.

author: hamper; date: 2020-09-28
  Рейтинг@Mail.ru