[Home] [Назад]

Разложение в ряд Фурье функции - ступенчатого приближения к синусоиде

Получение коэффициентов разложения
Анализ результата
Мощность ступенчатого сигнала и коэффициент гармоник



Получение коэффициентов разложения

Разложение периодической функции u(t) с периодом T в ряд Фурье имеет вид $$u(t)=\frac {a_0}2+\sum_{k=1}^\infty\left(a_k\cos\frac{2\pi k}T t+b_k\sin\frac{2\pi k}T t\right),$$ где коэффициенты разложения $$a_0=\frac 2 T \int\limits_0^T u(t)dt,\\ a_k=\frac 2 T \int\limits_0^T u(t)\cos\frac{2\pi k} T t dt,\\ b_k=\frac 2 T \int\limits_0^T u(t)\sin\frac{2\pi k} T t dt,\\ k=1, 2, 3, \ldots$$ Постоянная составляющая сигнала равна \(A_0=a_0/2\), а амплитуда k-ой гармоники сигнала (с периодом T/k и соответственно с частотой k/T): $$A_k=\sqrt{a_k^2+b_k^2}.$$

В нашем случае исследуется сигнал, определяемый функцией u(t). Эта функция является ступенчатым приближением для синусоидального сигнала \( y(t)=sin \frac {2\pi}T t \) с амплитудой 1 и с периодом T. Приближение выполняется по n точкам на отрезке в m периодов T исходного сигнала, причём n>2m, поэтому, в общем случае, период сигнала u(t) равен mT. $$y(t)=\sin\frac{2\pi}T t,\\ u(t)=const \text{ на каждом из n отрезков длиной } \frac{mT}n:\\$$ $$ u_i=\sin\frac{2\pi}T\frac{mT(i+d)}n=\sin\frac{2\pi m(i+d)}n; i=0, 1, \ldots, n-1; 0\leq d\lt 1;$$ i - номер отрезка, d - величина, определяющая момент (фазу) выборок. С учётом того, что период функции u(t) равен mT, разложение в ряд Фурье для этой функции примет вид: $$u(t)=\frac {a_0}2+\sum_{k=1}^\infty\left(a_k\cos\frac{2\pi k}{mT} t+b_k\sin\frac{2\pi k}{mT} t\right),\\ a_0=\frac 2 {mT} \int\limits_0^{mT} u(t)dt,\\ a_k=\frac 2 {mT} \int\limits_0^{mT} u(t)\cos\frac{2\pi k}{mT} t dt,\\ b_k=\frac 2 {mT} \int\limits_0^{mT} u(t)\sin\frac{2\pi k}{mT} t dt.$$

Для вычисления коэффициентов разложения, заменим интеграл по отрезку [0, mT] на сумму интегралов по составляющим его n маленьким отрезкам, на каждом из которых u(t)=ui=const.

$$ a_0=\frac 2 {mT} \int\limits_0^{mT} u(t)dt=\\ =\frac 2 {mT} \sum_{i=0}^{n-1} \int\limits_{mTi/n}^{mT(i+1)/n} f_i dt=\\ =\frac 2 {mT} \sum_{i=0}^{n-1} \left( \sin\frac{2\pi m(i+d)}n \right) \frac{mT}n=\\ =\frac 2 n \sum_{i=0}^{n-1} \sin \left( \frac{2\pi mi}n+\frac{2\pi md}n \right). $$

$$a_k=\frac 2 {mT} \int\limits_0^{mT} u(t)\cos\frac{2\pi k}{mT} t dt=\\ =\frac 2{mT}\sum_{i=0}^{n-1}u_i\int\limits_{mTi/n}^{mT(i+1)/n}\cos\frac{2\pi k}{mT}t dt=\\ =\frac 2{mT} \sum_{i=0}^{n-1} \left( \sin \frac {2\pi m(i+d)} n \right) \frac {mT}{2\pi k} \sin \frac {2\pi k}{mT} t \vert_{\frac{mTi}n}^{\frac{mT(i+1)}n}=\\ = \frac 1{\pi k} \sum_{i=0}^{n-1} \sin \frac {2\pi m(i+d)} n \left( \sin \frac {2\pi k}{mT} \frac {mT(i+1)}n - \sin \frac {2\pi k}{mT} \frac {mTi}n \right)=\\ = \frac 1{\pi k} \sum_{i=0}^{n-1} \sin \frac {2\pi m(i+d)} n \left( \sin \frac {2\pi k(i+1)}n- \sin \frac {2\pi k i}n \right) $$

Преобразуем разность синусов в произведение тригонометрических функций в соответствии с формулой $$ \sin \alpha-\sin \beta=2\cos \frac {\alpha+\beta}2 \sin \frac {\alpha-\beta}2 $$

$$ a_k=\frac 1{\pi k} \sum_{i=0}^{n-1} \sin \frac {2\pi m(i+d)} n 2\cos \frac {2\pi k(2i+1)}{2n} \sin \frac {2\pi k}{2n}=\\ =\frac {2\sin\frac {\pi k}n}{\pi k} \sum_{i=0}^{n-1} \sin \frac {2\pi m(i+d)} n \cos \frac {\pi k(2i+1)}n $$ Теперь под знаком суммы преобразуем произведение тригонометрических функций в сумму в соответствии с формулой $$ \sin\alpha\cos\beta=\frac {\sin(\alpha-\beta)+\sin(\alpha+\beta)}2 $$ Получим: $$ a_k=\frac {2\sin\frac {\pi k}n}{\pi k} \sum_{i=0}^{n-1} \frac 1 2 \left( \sin \frac {2\pi m(i+d)-\pi k(2i+1)}n+ \sin \frac {2\pi m(i+d)+\pi k(2i+1)}n \right)=\\ =\frac {\sin\frac {\pi k}n}{\pi k} \left( \sum_{i=0}^{n-1} \sin \left( \frac {2 \pi (m-k)}n i+\frac {\pi(2md-k)}n \right)+ \sum_{i=0}^{n-1} \sin \left( \frac {2 \pi (m+k)}n i+\frac {\pi(2md+k)}n \right) \right) $$

Совершенно аналогично получаем выражение для коэффициента bk: $$b_k=\frac 2 {mT} \int\limits_0^{mT} u(t)\sin\frac{2\pi k}{mT} t dt=\\ = -\frac 1{\pi k} \sum_{i=0}^{n-1} \sin \frac {2\pi m(i+d)} n \left( \cos \frac {2\pi k(i+1)}n- \cos \frac {2\pi k i}n \right) $$ Далее используем тригонометрические формулы $$ \cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}2\sin\frac{\alpha-\beta}2,\\ \sin\alpha\sin\beta=\frac{\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)}2. $$ Тогда $$ b_k=\frac 2{\pi k} \sum_{i=0}^{n-1} \sin\frac{2\pi m(i+d)}n \sin\frac{\pi k(2i+1)}n \sin\frac{\pi k}n=\\ =\frac{2\sin\frac{\pi k}n}{\pi k} \sum_{i=0}^{n-1} \sin\frac{2\pi m(i+d)}n \sin\frac{\pi k(2i+1)}n=\\ =\frac {\sin\frac {\pi k}n}{\pi k} \left( \sum_{i=0}^{n-1} \cos \left( \frac {2 \pi (m-k)}n i+\frac {\pi(2md-k)}n \right)- \sum_{i=0}^{n-1} \cos \left( \frac {2 \pi (m+k)}n i+\frac {\pi(2md+k)}n \right) \right) $$

Итак, мы получили коэффициенты разложения функции u(t) в ряд Фурье в следующем виде: $$ a_0=\frac 2 n \sum_{i=0}^{n-1} \sin \left( \frac{2\pi mi}n+\frac{2\pi md}n \right),\\ a_k=\frac {\sin\frac {\pi k}n}{\pi k} \left( \sum_{i=0}^{n-1} \sin \left( \frac {2 \pi (m-k)}n i+\frac {\pi(2md-k)}n \right)+ \sum_{i=0}^{n-1} \sin \left( \frac {2 \pi (m+k)}n i+\frac {\pi(2md+k)}n \right) \right),\\ b_k=\frac {\sin\frac {\pi k}n}{\pi k} \left( \sum_{i=0}^{n-1} \cos \left( \frac {2 \pi (m-k)}n i+\frac {\pi(2md-k)}n \right)- \sum_{i=0}^{n-1} \cos \left( \frac {2 \pi (m+k)}n i+\frac {\pi(2md+k)}n \right) \right). $$

Как видим, каждое из выражений содержит сумму синусов или косинусов от первых n членов арифметической прогрессии, причём разность прогрессии (шаг изменения) в n раз меньше \(2\pi z\, (z\in Z)\) - целого количества периодов функции sin x. Как известно, в таких случаях (смотрите подробнее в нашем "Сверхкратком справочнике по тригонометрии"): $$ \sum_{i=0}^{n-1}\sin\left(\frac{2\pi z}n i+\phi\right)= \begin{cases} 0, \text{если }\sin\frac{\pi z}n\neq 0,\\ n\sin\phi, \text{если }\sin\frac{\pi z}n=0, \end{cases}\\ \sum_{i=0}^{n-1}\cos\left(\frac{2\pi z}n i+\phi\right)= \begin{cases} 0, \text{если }\sin\frac{\pi z}n\neq 0,\\ n\cos\phi, \text{если }\sin\frac{\pi z}n=0. \end{cases} $$

Видим, что a0=0, так как m не кратно n (обычно вообще m<n/2), \(m\neq 0\), поэтому \(sin\frac{\pi m}n\neq 0\).

Таким образом, сигнал не имеет постоянной составляющей при любых значениях параметра положения точки выборки сигнала d и при любых возможных сочетаниях величин m и n: \(a_0/2=0\).

Выражения для ak и bk имеют сходную структуру. Каждое из них содержит два слагаемых. Но если выполняется условие n>2m>0, то ни при каком значении номера гармоники k оба слагаемых не могут быть отличны от 0 одновременно. Обосновать это утверждение можно следующим образом. Первое слагаемое в выражениях для ak, bk может быть отлично от нуля только при условии, что $$ \sin\frac{\pi(m-k)}n=0, $$ второе слагаемое может быть отлично от 0 только при условии, что $$ \sin\frac{\pi(m+k)}n=0, $$

Предположим, существует такое значение k, при котором оба условия выполняются одновременно. Это означает, что $$ \left\{ \begin{matrix} \frac{\pi(m-k)}n=z_1\pi, z_1\in Z,\\ \frac{\pi(m+k)}n=z_2\pi, z_2\in Z. \end{matrix} \right. $$ $$ \left\{ \begin{matrix} m-k=z_1 n\\ m+k=z_2 n \end{matrix} \right. $$ $$2m=(z_1+z_2)n$$ Сумма двух целых \(z_1+z_2\) также является целым числом, обозначим его z. Исходя из нашего предположения мы получили, что $$2m=zn.$$ Кроме того, мы изначально условились, что n>2m и m, n>0. $$ \left\{ \begin{matrix} 2m=zn\\ n\gt 2m \end{matrix} \right. \\ n\gt zn\\ z\lt 1 $$ С другой стороны, z=2m/n и должно быть положительным, так как m и n - положительные. Получаем следующие систему неравенств $$ \left\{ \begin{matrix} z\lt 1\\ z\gt 0 \end{matrix} \right. $$ На множестве целых чисел данная система не имеет решений. Значит предположение о том, что оба слагаемых в выражении для ak или bk могут быть одновременно отличны от нуля неверно, поскольку оно привело нас к противоречию.

Зато оба слагаемых могут быть одновременно равны 0. ak, bk могут быть отличны от 0 только для тех гармоник, которые отвечают условию $$ m\pm k=nz, z\in Z. $$ Здесь z - любое целое, знак "+" или "-" выбирается с учётом того, что должно быть \(k\ge 1\). Можно записать и в таком виде: $$k=\pm(nz-m).$$ Знаку "+" соответствует отличное от 0 второе слагаемое, а знаку "-" соответствует отличное от 0 первое слагаемое в выражениях для ak, bk.

Для этих значений k, с учётом формул для сумм тригонометрических функций от членов арифметической прогрессии и с учётом того, что только одно слагаемое в выражении для ak, bk может быть отлично от 0 при данном k, запишем $$ a_k=\frac{n\sin\frac{\pi k}n}{\pi k} \sin\frac{\pi(2md\pm k)}n,\\ b_k=\mp\frac{n\sin\frac{\pi k}n}{\pi k} \cos\frac{\pi(2md\pm k)}n. $$

Подставим в выражениях-аргументах функций sin, cos значение \(k=\pm(nz-m)\) и, соответственно, \(\pm k=nz-m\). $$ a_k=\frac{n\sin\frac{\pi k}n}{\pi k} \sin\frac{\pi(2md\pm k)}n=\\ =\frac{\pm n\sin\left(\pi z-\frac{\pi m}n\right)}{\pi k} \sin\frac{2\pi md+\pi nz-\pi m}n=\\ =\frac{\pm n\sin\left(\pi z-\frac{\pi m}n\right)}{\pi k} \sin\left(\frac{\pi m(2d-1)}n+\pi z\right). $$

Теперь воспользуемся формулами приведения для тригонометрических функций: $$ a_k=\pm(-1)^{z+1}\frac{n\sin\frac{\pi m}n}{\pi k} (-1)^z\sin\frac{\pi m(2d-1)}n=\\ =\pm(-1)^{2z+1}\frac{n\sin\frac{\pi m}n}{\pi k} \sin\frac{\pi m(2d-1)}n. $$

При любом целом значении z, число 2z+1 является нечётным, поэтому \( (-1)^{2z+1}=-1 \) и окончательно получаем $$ a_k=\mp\frac{n\sin\frac{\pi m}n}{\pi k} \sin\frac{\pi m(2d-1)}n. $$ Напомним, что знаки \(\mp\) в этом выражении и \(\pm\) в выражении \(k=\pm(nz-m)\) являются соответствующими.

Совершенно аналогичен вывод выражения для bk, в результате которого получаем (все значения положительные): $$ b_k=\frac{n\sin\frac{\pi m}n}{\pi k} \cos\frac{\pi m(2d-1)}n. $$

Амплитуда ненулевой гармоники с номером k, \(k=\pm(nz-m)\): $$ A_k=\sqrt{a_k^2+b_k^2}=\left|{\frac{n\sin\frac{\pi m}n}{\pi k}}\right|=\frac{n\sin\frac{\pi m}n}{\pi k}. $$

Итак, получили, при условии что \( n\gt 2m \gt 0; n, m \in Z; 0\le d \lt 1\): $$ a_0=0,\\ a_k=\mp\frac{n\sin\frac{\pi m}n}{\pi k} \sin\frac{\pi m(2d-1)}n,\\ b_k=\frac{n\sin\frac{\pi m}n}{\pi k} \cos\frac{\pi m(2d-1)}n,\\ A_k=\frac{n\sin\frac{\pi m}n}{\pi k},\\ \text{где } k\ge 1, k=\pm(nz-m), z\in Z. $$ $$ \text{Если } k\neq\pm(nz-m), z\in Z, \text{то }\\ a_k=0,\\ b_k=0,\\ A_k=0. $$

Номера ненулевых гармоник k можно выразить следующим образом: $$ k=\pm(nz-m), k\ge 1, z\in Z;\\ k=\pm nz\mp m. $$ Здесь следует для \( z\le 0 \) выбирать знаки \( -, + \), а для \( z \gt 0 \) - знаки \( +, - \), чтобы получаемое для k значение отвечало условию \(k \ge 1\). В итоге для множества чисел $$ z=0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots $$ получаемый соответствующее множество номеров ненулевых гармоник: $$ k=m, n \mp m, 2n \mp m, 3n \mp m, \ldots $$ Чтобы знак ak соответствовал знаку перед значением m в записанном выше ряду значений, выражение для коэффициента следует переписать в виде: $$ a_k=\pm\frac{n\sin\frac{\pi m}n}{\pi k} \sin\frac{\pi m(2d-1)}n,\\ \text{где } k=m, n \mp m, 2n \mp m, 3n \mp m, \ldots $$ Знаки значений bk (и, разумеется, амплитуды) не зависят от номера гармоники и для них выражения остаются неизменными.

Анализ результата

Итак, при разложении в ряд Фурье данного ступенчатого сигнала получили, что отличны от нуля только гармоники с номерами \( k=m, n \mp m, 2n \mp m, 3n \mp m, \ldots \) С учётом того, что разложение выполняется на отрезке mT, частоты этих гармоник равны \( f_k=k/(mT)=1/T \cdot(1, n/m\mp 1, 2n/m\mp 1, 3n/m\mp 1, \ldots) \). Таким образом, частота основной гармоники - первой ненулевой, имеющий наибольшую амплитуду, равна частоте исходного гармонического сигнала, приближение которого мы и исследовали. Впрочем, именно этого мы и ожидали. Следующая ненулевая гармоника (точнее пара близко расположенных гармоник) существенно удалена от основной, так как обычно \( n\gg m \Rightarrow n/m\gg 1 \Rightarrow 1/T (n/m \mp 1)\gg 1/T \).

Кроме того, амплитуда ненулевых гармоник быстро убывает с ростом их номера - она обратно пропорциональна номеру. Поэтому с помощью фильтра можно легко подавить высшие гармоники и получить достаточно чистый синусоидальный сигнал.

Интересно, что если выбрать d=0.5 (в этом случае в качестве точек выборки используются середины отрезков разбиения - значения ступенчатой функции равны значениям оригинальной функции в серединах отрезков разбиения), то ступенчатая функция становится строго нечётной, как и оригинальная функция sin. При этом все коэффициенты ak обращаются в 0: \(a_k=0, A_k=|b_k|=b_k \). В любом случае, если только \( n\gt 2m \) получаем, что амплитуда гармоник не зависит от фазы выборок d, поэтому можно выбирать d любым из диапазона \( 0\le d \lt 1 \). Для простоты в практических реализациях удобно принимать d=0 (что соответствует началам отрезков разбиения). При этом координата точки выборки с индексом i выражается наиболее просто: \( t_i=mTi/n \).

Даже если \( d\neq 1/2 \), ступенчатая функция получается "почти нечётной": из выражений для ak, bk легко показать, что \( b_k \gg a_k \text{ при } n/m \gg 1 \) для ненулевых гармоник.

Амплитуда основной гармоники с ростом отношения n/m быстро стремится к амплитуде исходного сигнала (в данном случае 1). Особенно это хорошо видно, если разложить в выражении для Ak функцию sin в ряд Тейлора и ограничиться первыми двумя ненулевыми членами ряда для того чтобы получить приближённое выражение: $$ \sin x=x-\frac {x^3}6+\ldots,\\ A_k=\frac{n\sin\frac{\pi m}n}{\pi k} \approx \frac{n \left( \frac{\pi m}n-\frac 1 6 \frac {\pi^3 m^3}{n^3} \right)}{\pi k}= \frac {m-\frac{\pi^2 m^3}{6n^2}}k,\\ A_m \approx 1-\frac 1 6 \left(\frac {\pi m}n\right)^2. $$ С ростом отношения n/m слагаемое \( -\frac 1 6 \left(\frac {\pi m}n\right)^2 \rightarrow 0 \) и амплитуда основной гармоники \( A_m \rightarrow 1 \).

Мощность ступенчатого сигнала и коэффициент гармоник

Хороший способ оценить степень чистоты сигнала - вычислить его коэффициент гармоник. Пусть к источнику сигнала подключено некоторое активное сопротивление. Обозначим через P среднюю мощность, рассеиваемую на сопротивлении, а среднюю рассеиваемую мощность всех гармоник, кроме основной, обозначим Pu (мощность высших гармоник). Коэффициент гармоник показывает, какая доля от полной рассеиваемой мощности приходится на высшие гармоники:
K=Pu/P.
Например, в случае чистой синусоиды, K=0.

Для того, чтобы вычислить коэффициент гармоник ступенчатого сигнала, потребуется вычислить его среднюю мощность P. Средняя мощность основной гармоники Pm нам известна, так как мы знаем амплитуду гармоники. Средняя мощность высших гармоник тогда Pu=P-Pm и коэффициент гармоник $$ K=\frac {P_u}P=\frac {P-P_m}P=1-\frac {P_m}P,\\ P_m=\frac {A_m^2}{2R}=\frac 1 {2R} \left( \frac {n \sin \frac {\pi m}n} {\pi m} \right)^2. $$ Здесь R - величина активного сопротивления, коэффициент 2 в знаменателе выражения для мощности появляется в связи с тем, что Am - это амплитуда гармоники, а не действующее значение напряжения.

Теперь осталось найти среднее значение полной мощности ступенчатого сигнала на том же сопротивлении R. Усреднять будем по периоду сигнала mT. $$ P=\frac 1 {RmT} \int\limits_0^{mT} u^2dt= \frac 1 {RmT} \sum_{i=0}^{n-1} \int\limits_{mTi/n}^{mT(i+1)/n}\sin^2\frac{2\pi mi}n dt=\\ =\frac 1 {RmT} \sum_{i=0}^{n-1} \sin^2\frac{2\pi mi}n \int\limits_{mTi/n}^{mT(i+1)/n} dt=\\ =\frac 1 {RmT} \sum_{i=0}^{n-1} \left( \sin^2\frac{2\pi mi}n \right) \frac {mT}n=\\ =\frac 1{Rn} \sum_{i=0}^{n-1} \sin^2\frac{2\pi mi}n=\\ =\frac 1{Rn} \sum_{i=0}^{n-1} \left( \frac 1 2 - \frac 1 2 \cos \frac {4\pi mi}n \right)=\\ =\frac 1 {Rn} \frac n 2 - \frac 1 {Rn} \frac 1 2 \sum_{i=0}^{n-1} \cos \frac {4 \pi mi} n $$ Второе слагаемое в полученном результате равно 0, поскольку, как было сказано ранее, $$ \sum_{i=0}^{n-1} \cos i \alpha =0, $$ если \( \alpha=2\pi z/n \), где z - любое целое и \( \sin \frac {\pi z} n \neq 0 \). Эти условия выполняются в нашем случае, здесь \( z=2m \) и $$ 0 \lt 2m \lt n \Rightarrow \\ 0 \lt \frac {2m}n \lt 1 \Rightarrow \\ 0 \lt \frac {2\pi m}n \lt \pi \Rightarrow \\ \sin \frac {2\pi m}n \gt 0 \Rightarrow \\ \sin \frac {2\pi m}n \neq 0 \Rightarrow \\ \sum_{i=0}^{n-1} \cos \frac {4 \pi mi} n =0. $$ Таким образом, мы получаем, что среднее за период значение мощности ступенчатого сигнала - приближения для синусоиды в точности равно мощности самой синусоиды (с учётом того, что мы рассматриваем синусоидальный сигнал с единичной амплитудой) или, что то же самое, действующие напряжения исходного сигнала и его ступенчатого приближения равны: $$ P=\frac 1 {2R}. $$ Тогда коэффициент гармоник будет равен $$ K=1-\frac {n^2 \sin^2 \frac {\pi m} n} {\pi^2 m^2}. $$

Можно получить более простое приближённое выражение, если разложить \( \sin^2 x \) в ряд Тейлора, ограничиваясь первыми ненулевыми членами ряда: $$ \sin^2 x \approx x^2-\frac 1 3 x^4+\ldots,\\ K \approx 1- \frac {n^2 \frac {\pi^2 m^2} {n^2} - n^2 \frac 1 3 \frac {\pi^4 m^4} {n^4}} {\pi^2 m^2},\\ K \approx \frac 1 3 \left(\frac {\pi m} n \right)^2. $$ Видим, что с ростом количества выборок, приходящегося на период исходного сигнала, общая мощность высших гармоник быстро убывает. Например, при n/m=4 коэффициент гармоник составляет около 20%, а при n/m=8 он уменьшается до значения около 5%.

author: hamper; date: 2016-08-02
  @Mail.ru