[Home] [Назад]

Период функции - ступенчатого приближения к синусоиде

Пусть для синусоидальной функции y(x) с наименьшим положительным периодом T мы построили ступенчатое приближение f(t) на отрезке mT по n точкам, где m и n - целые числа, не имеющие общих целых делителей больших единицы и m<n. $$y(t)=\sin\frac{2\pi}T t,$$ $$y(t+T)=y(t),$$ $$f(t)=y\left(\frac{mT}n\left[\frac n{mT}t\right]+\frac{mT}n d\right);\\ n, m\in Z, m\lt n, 0\le d\lt 1.$$ Требуется найти период функции f(t). Пусть X - период функции f(t): f(t)=f(t+X) для любого t. Тогда для любого t выполняется равенство $$ y\left(\frac{mT}n\left[\frac n{mT}(t+X)\right]+\frac{mT}n d\right)=y\left(\frac{mT}n\left[\frac n{mT}t\right]+\frac{mT}n d\right). \tag{1}$$ Так как y(t) - периодическая функция с наименьшим положительным периодом T, то можно предположить (а лучше докажите и пришлите доказательство мне на почту), что в равенстве (1) аргументы функции y(t) слева и справа отличаются на целое количество z периодов T. $$\frac{mT}n\left[\frac n{mT}(t+X)\right]=\frac{mT}n\left[\frac n{mT}t\right]+zT\\ \left[\frac n{mT}(t+X)\right]=\left[\frac n{mT}t\right]+\frac{zn}m\\ \left[\frac n{mT}t+\frac n{mT}X\right]=\left[\frac n{mT}t\right]+\frac{zn}m \text{(для любого t)}. \tag{2} $$



Последнее равенство имеет форму
[x+a]=[x]+b (для любого x).
Можно показать, что в этом случае a, b - целые числа и a=b. В доказательстве будут использоваться следующие свойства целой части:
[0]=0;
если x<0, то [x]<0;
для любого целого n: [a+n]=[a]+n.

Покажем сначала, что b - целое.
b=[x+a]-[x],
целая часть числа - целое число, разность двух целых - целое, следовательно b - целое число.

Предположим теперь, что \(a\neq b \), тогда либо a<b, либо a>b. В любом случае мы уже показали, что b - целое, поэтому можем внести эту величину под знак выделения целой части:
[x+a]=[x+b].
Рассмотрим случай, когда a<b. По условию равенство [x+a]=[x+b] должно выполняться при любом x, в том числе и при x=-b:
[-b+a]=[0],
[a-b]=0,
но в нашем случае a<b, а значит a-b<0 и в соответствии со свойствами функции - целой части числа, [a-b]<0. Таким образом мы пришли к противоречию: получили, что одновременно [a-b]=0 и [a-b]<0.

Аналогично рассматривается случай, когда a>b. В этом случае мы полагаем x=-a и также приходим к противоречию.

Значит, исходное предположение о том, что \(a\neq b \) неверно и a=b.

В нашем случае, с учётом равенства (2) это означает, что $$\frac n{mT}X=\frac{zn}m, \frac{zn}m\in Z$$ или $$X=zT, \frac{zn}m\in Z.$$

Для того, чтобы найти наименьший положительный период функции f(t), нам нужно найти минимальное положительное число z, при котором \( zn/m \) будет целым числом.

Пусть \( zn/m=z_1, \, z_1\in Z \), тогда $$z=\frac{mz_1}n; z, z_1\in Z; z, z_1\gt 0.$$ Так как m и n не имеют общих делителей, то минимальное положительное значение z1, при котором произведение \(mz_1\) делится на n равно n. Этому значению соответствует минимальное положительное значение z, равное m. Таким образом, $$z_{1 min}=n,\\ z_{min}=m,\\ \boxed {X_{min}=mT}$$

В том случае, если m и n имеют некоторый общий делитель D, больший единицы, то m и n можно представить в виде: $$m=Dm_1, n=Dn_1; m_1, n_1\in Z.$$ В этом случае также должна быть целой величина \(zn/m\), однако минимальное значение величины z уже будет иным: $$\frac{zn}m=\frac{zDn_1}{Dm_1}=\frac{zn_1}{m_1},$$ откуда следует, что $$z_{min}=m_1=\frac m D,\\ X_{min}=m_1 T=\frac m D T.$$ В этом случае mT уже не минимальный положительный период, но он по прежнему является периодом (как величина, кратная минимальному положительному периоду).

author: hamper; date: 2016-08-02
  @Mail.ru