[Home] [Donate!] [Контакты]

Элементарная теория металлоискателя

Для правильного, соответствующего поставленной задаче выбора рабочей частоты металлоискателя и размеров катушки, для определения предельных возможностей прибора данной чувствительности, для оценки влияния грунта и других мешающих факторов на поиск, необходимо получить основные соотношения, описывающие работу металлоискателя.

Оглавление
Элементарная теория металлоискателя
   Основы теории
   Выбор оптимальной рабочей частоты
   Анализ отклика на монету
   Анализ результатов
   Примеры расчёта рабочей частоты и величины отклика
   Источники
Металлоискатели (общие вопросы) 
Характеристики металлоискателя 
Теоретическая предельная глубина обнаружения 


Основы теории

Для определённости будем анализировать металлоискатель индукционного типа, имеющий простую катушку с одной обмоткой (моно-катушку). При этом полученные результаты будут справедливы и для металлоискателей на основе измерения частоты, а некоторые идеи остаются справедливыми и для других типов приборов. По возможности будем избегать привлечения сложной математики и неочевидных расчётных формул из справочной литературы, предпочитая более грубую оценку, но получаемую более простыми методами. Тем более, в большинстве случаев для решения практических задач высокая точность вычислений не требуется, часто достаточно лишь оценить порядок величин.

Изменение параметров катушки под влиянием расположенного рядом проводящего предмета. Рис. %img:dl

Принцип действия индукционного металлоискателя основан на влиянии проводящего ток предмета на расположенную поблизости катушку индуктивности; при приближении предмета к катушке изменяются её эквивалентные индуктивность и активное сопротивление (рис. %img:dl). Прежде всего, вычислим величину этих изменений.

Влияние предмета на катушку объясняется тем, что проводящий предмет, который обладает собственной индуктивностью и активным сопротивлением, имеет магнитную связь с катушкой (пусть и слабую), которая характеризуется взаимной индуктивностью, зависящей от формы и размеров катушки, объекта и их взаимного расположения. Объект можно рассматривать как индуктивный элемент, замкнутый на своё активное сопротивление.

Соотношения, описывающие подобную систему хорошо известны из теории цепей, где они рассматриваются в разделе, посвящённом рассмотрению индуктивностей и взаимных индуктивностей. Этот же вопрос рассматривается в теории трансформаторов (систему катушка - предмет можно рассматривать как крайне несовершенный трансформатор с короткозамкнутым витком). Но, для полноты изложения, выполним вывод уравнений и здесь.

Индуктивность в электрической цепи. Рис. %img:eq_l

Напряжение u на индуктивности L и ток через неё i (рис. %img:eq_l) связаны следующим соотношением $$ u=L \frac {di} {dt}. $$ Здесь и далее мы предполагаем, что все рассматриваемые элементы являются линейными, что с высокой степенью точности соответствует действительности, поскольку в поле катушек отсутствуют материалы с нелинейными свойствами (считаем, что поблизости нет ферромагнетиков, а если они есть, то обычно далеки от насыщения).

Две катушки индуктивности при наличии взаимной индуктивности. Рис. %img:eq_2l

При наличии магнитной связи с другой катушкой (рис. %img:eq_2l), напряжение на данной катушке зависит не только от тока через неё, но и от тока через вторую катушку. Связь характеризуется величиной взаимной индуктивности M. Для двух связанных катушек индуктивности справедливы следующие равенства: $$ \begin{equation} \begin{cases} u_1=L_1 \frac {di_1} {dt} + M \frac {di_2} {dt}, \\ u_2=M \frac {di_1} {dt} + L_2 \frac {di_2} {dt}, \end{cases} \label{pm_eq} \end{equation} $$ в нашем случае L1 - индуктивность катушки металлоискателя; L2 - собственная индуктивность объекта, находящегося поблизости от катушки и тем самым, влияющего на неё; M - взаимная индуктивность катушки и объекта. Мы сразу записали уравнения с учётом того известного факта, что M12=M21 - взаимная индуктивность второй катушки по отношению к первой равна взаимной индуктивности первой катушки по отношению ко второй.

Здесь и далее, для величин, относящихся к катушке металлоискателя, будем использовать индексы 1, а для величин, относящихся к объекту поиска - индексы 2.

Рассмотрим случай синусоидального сигнала в катушке, при этом магнитные поля, токи в объекте, напряжения на индуктивностях будут также изменяться по синусоидальному закону с той же частотой. Поэтому имеет смысл воспользоваться методом комплексных амплитуд, благодаря чему дифференциальные уравнения \eqref{pm_eq} примут вид алгебраических с заменой оператора дифференцирования по времени на умножение на коэффициент \(j \omega,\) где \(j=\sqrt{-1}; \ \omega=2\pi f\) - циклическая частота (f - частота сигнала): $$ \begin{equation} \begin{cases} \dot U_1=j \omega L_1 \dot I_1 + j \omega M \dot I_2, \\ \dot U_2=j \omega M \dot I_1 + j \omega L_2 \dot I_2, \end{cases} \label{jm_eq} \end{equation} $$

До сих пор мы не учитывали собственные активные сопротивления катушки и объекта, они могут быть введены в рассмотрение как самостоятельные сопротивления, подключённые последовательно с индуктивностями; напряжение на катушке будет тогда определяться как сумма напряжения на индуктивности и напряжения на активном сопротивлении.

Две индуктивности с магнитной связью, вторая индуктивность замкнута накоротко. Рис. %img:eq_2lr

Активное сопротивление катушки металлоискателя включать в уравнения не будем, отнесём его к внутреннему сопротивлению источника сигнала. Активное сопротивление объекта, R2 - это нагрузка для индуктивности объекта L2 (рис. %img:eq_2lr).

С помощью уравнений системы \eqref{jm_eq} выразим \(\dot U_1\) через \(\dot I_1\), тогда сможем вычислить комплексное сопротивление катушки \(\dot Z_1=\dot U_1 / \dot I_1\) при наличии рядом с катушкой влияющего предмета и, сравнив с начальным \(\dot Z_{10}=j\omega L_1\), определить вносимое реактивное и активное сопротивление.

Воспользуемся тем, что \(\dot U_2=\dot I_{R2} R_2 =-\dot I_2 R_2\) (положительные направления токов для индуктивностей выбраны, как это принято для четырёхполюсников, чтобы уравнения для напряжений на индуктивностях имели вид \eqref{jm_eq}). Подставляем выражение для U2 во второе уравнение системы \eqref{jm_eq}, получаем $$ -\dot I_2 R_2=j\omega M \dot I_1+j\omega L_2 \dot I_2, $$ откуда выражаем $$ \dot I_2=-\frac {j\omega M \dot I_1} {R_2+j\omega L_2}. $$ Подставляя полученное для тока \(\dot I_2\) выражение в первое уравнение системы \eqref{jm_eq}, сможем выразить \(\dot U_1\) через \(\dot I_1\): $$ \dot U_1=\dot I_1 \left(j\omega L_1+\frac {\omega^2 M^2} {R_2+j\omega L_2}\right), $$ значит, $$ \dot Z_1=\dot U_1 / \dot I_1= j\omega L_1+\frac {\omega^2 M^2} {R_2+j\omega L_2}= j\omega L_1+\frac {\omega^2 M^2(R_2-j\omega L_2)} {R_2^2+\omega^2 L_2^2}, \\ \dot Z_1=j\omega \left(L_1 - \frac {\omega^2 M^2 L_2} {R_2^2+\omega^2 L_2^2} \right)+\frac {\omega^2 M^2 R_2} {R_2^2+\omega^2 L_2^2}. $$ Сравнивая полученный результат с начальным комплексным сопротивлением катушки \(j\omega L_1\), видим, что влияние находящегося рядом предмета проявляется в уменьшении индуктивности катушки и увеличении активного сопротивления. Индуктивность катушки изменяется на $$ \begin{equation} \Delta L_1=-\frac {\omega^2 M^2 L_2} {R_2^2+\omega^2 L_2^2}. \label{delta_l1} \end{equation} $$ Трудность обнаружения предмета определяется не самим изменением индуктивности катушки, а относительным изменением (обычно минимальное фиксируемое относительное изменение индуктивности катушки является постоянной прибора). Поэтому запишем выражение и для относительного изменения: $$ \begin{equation} \varepsilon_{L1}=-\frac {\omega^2 M^2 L_2} {L_1(R_2^2+\omega^2 L_2^2)}. \label{eps_l1} \end{equation} $$ Наконец, изменение активного сопротивления катушки (вносимое сопротивление) составляет $$ \begin{equation} \Delta R_1=\frac {\omega^2 M^2 R_2} {R_2^2+\omega^2 L_2^2}. \label{delta_r1} \end{equation} $$

Заметим, что отношение изменения индуктивности катушки к изменению активного сопротивления зависит только от параметров объекта (собственных индуктивности и активного сопротивления). Действительно, разделив \eqref{delta_l1} на \eqref{delta_r1}, получим $$ \frac {\Delta L_1} {\Delta R_1} = - \frac {\cancel{\omega^2 M^2} L_2} {\cancel{R_2^2+\omega^2 L_2^2}} \frac {\cancel{R_2^2+\omega^2 L_2^2}} {\cancel{\omega^2 M^2} R_2}= - \frac {L_2} {R_2}. $$ Данное соотношение может быть полезно для реализации функции различения объектов по типу материала, из которого они изготовлены.

Выбор оптимальной рабочей частоты

Из соотношений \eqref{delta_l1} или \eqref{eps_l1} сразу же можно сделать определённые выводы насчёт оптимальной рабочей частоты металлоискателя, даже не прибегая к каким-либо вычислениям. Перепишем \eqref{eps_l1} для вычисления модуля относительного изменения индуктивности катушки (для краткости будем также называть эту величину "откликом"). $$ \begin{equation} |\varepsilon_{L1}|=\frac {\omega^2 M^2 L_2} {L_1(R_2^2+\omega^2 L_2^2)}. \label{me_l1} \end{equation} $$ Нам выгодно выбрать такую рабочую частоту, чтобы иметь максимально возможный отклик на объект.

Если найдём производную от отклика по циклической частоте, то получим, что она всюду положительна (естественно, в области положительных значений частоты). То есть, сам отклик монотонно возрастает с ростом частоты, а значит, ни при какой частоте не достигает максимального значения.

Однако, из уравнения \eqref{me_l1} легко показать, что если при крайне низких частотах отклик стремится к нулю, то с ростом частоты он стремится к предельному значению $$ |\varepsilon_{L1}| \to \frac {M^2} {L_1 L_2} \text{ при } \omega \to \infty, $$ и практически можно считать, что отклик достигает наибольшего значения, когда начинает выполняться условие $$ \begin{equation} \omega^2 L_2^2 \gg R_2^2 \label{cond_w1} \end{equation} $$ и когда становится возможным пренебречь слагаемым \(R_2^2\) в знаменателе выражения \eqref{me_l1}. Условие будем считать выполненным при $$ \omega^2 L_2^2 \gt 4 R_2^2, \\ \omega L_2 \gt 2 R_2, $$ а с учётом того, что циклическая частота \(\omega=2\pi f\), окончательно получаем $$ \begin{equation} f \gt f_{min}, \text{ где}\\ f_{min}=\frac {R_2} {\pi L_2}. \label{fmin} \end{equation} $$ Величина отклика при указанном значении fmin составляет 0.8 от предельного значения, поэтому дальнейшее повышение частоты не приведёт к значительному росту \(|\varepsilon_{L1}|\).

Параметры R2, L2 зависят от размера и формы объекта, от удельной проводимости его материала. Для эффективного обнаружения всех интересующих нас предметов, частота должна быть выбрана не ниже, чем требуется для предмета с максимальным значением fmin. Численные оценки минимальной частоты будут выполнены далее.

Впрочем, использование рабочей частоты ниже и даже намного ниже значения fmin тоже не катастрофично. Можно подсчитать, что если для данного объекта вычисляемое значение минимальной рабочей частоты составляет fmin, то при снижении реальной рабочей частоты металлоискателя до половины значения fmin, отклик на этот объект уменьшится всего лишь до 0.5 от максимально возможного (достигаемого на высоких частотах). И если поиск ведётся не на пределе чувствительности прибора, то объект будет обнаружен. Если снизить частоту ещё в 2 раза, отклик на данный объект уменьшится уже до 0.2 от максимума и это уже более существенное падение, которое может привести к пропуску некоторых целей. Но в целом, как видим, снижение частоты даже в несколько раз не приводит к резкому падению отклика и невозможности обнаружения предметов данного размерного диапазона (с данным параметром fmin). В принципе, fmin нужно рассматривать как некоторое ориентировочное значение, в то время как в действительности работа возможна и на более низких частотах, и, естественно, на более высоких - с увеличением частоты отклик от объектов всех размеров будет только возрастать.

В дальнейшем будем считать, что выбранная рабочая частота является достаточно высокой, чтобы величина отклика могла быть рассчитана как $$ \begin{equation} |\varepsilon_{L1}| \approx \frac {M^2} {L_1 L_2}. \label{resp_simp} \end{equation} $$

Как мы выяснили, рабочая частота может быть выше минимальной, т.е. отвечающей условию \eqref{fmin}, так как с ростом частоты отклик на объекты не убывает. Тем не менее, рабочую частоту в хороших металлоискателях с высокой чувствительностью стараются сделать как можно более низкой. Обычно предусмотрено переключение частоты для выбора минимальной частоты, подходящей для решения текущей поисковой задачи. Стремление использовать низкие рабочие частоты объясняется тем, что при высокой чувствительности начинает проявляться влияние грунта. Влияние грунта, как и в случае с полезными объектами, можно представить как воздействие некоторого замкнутого контура со своими значениями собственной индуктивности и активного сопротивления. Только величина R2 для грунта оказывается очень большой (по сравнению с полезными целями), так что в обычных условиях для грунта выполняется соотношение \(\omega^2 L_2^2 \ll R_2^2\) и поэтому величина отклика от грунта может быть приближённо выражена как $$ |\varepsilon_{L1}| \approx \frac {\omega^2 M^2 L_2} {R_2^2 L_1}, $$ она оказывается пропорциональной квадрату рабочей частоты. Для достижения высокой чувствительности, отклик на грунт необходимо минимизировать, а значит, рабочая частота должна выбираться по возможности низкой.

Низкие частоты хорошо подходят для поиска на большой глубине. Как покажем дальше, с увеличением расстояния до объекта, отклик от него резко уменьшается (он обратно пропорционален 6-й степени расстояния). Поэтому от металлоискателя требуется максимальная чувствительность, для достижения которой влияние грунта необходимо сделать минимальным. Но даже при очень высокой чувствительности, на большой глубине возможно обнаружение только крупных предметов. И это прекрасно согласуется с тем, что как увидим далее, чем крупнее объект, тем ниже может быть выбрана рабочая частота. На низких частотах не только ослабевает влияние грунта, но и уменьшается отклик на мелкие предметы (для которых минимальная рабочая частота оказывается много выше, чем для крупных предметов). Таким образом, переход на низкие частоты, также уменьшает помехи со стороны малых объектов, которые могут залегать на небольшой глубине и мешать глубинному поиску.

Анализ отклика на монету

Для вычисления величины отклика от воздействия предмета, для оценки минимальной рабочей частоты, требуется определить параметры M, L1, L2, R2. Если L1 - начальная индуктивность катушки, зависит только от конструкции самой катушки, то остальные параметры зависят от формы и размеров предмета (M также зависит от свойств катушки и взаимного расположения катушки и предмета). Для определённости, чтобы получить конкретные соотношения, необходимо выбрать некоторую "стандартную" форму предмета.

Шайба. Рис. %img:washer

Для оценки возможностей металлоискателей традиционно рассматривается их чувствительность по отношению к монетам. Мы возьмём для анализа не просто монету, а монету с "дыркой" - объект в виде кольца или шайбы с прямоугольным сечением (рис. %img:washer). Это не только упрощает расчёты, но также делает более ясным смысл индуктивности и сопротивления такого объекта. Кольцо мы можем с большей или меньшей точностью считать обычным витком, тогда как в случае полноценной монеты необходимы более сложные методы анализа (например, мысленно разделить объект на множество колец малого сечения и рассматривать взаимодействие не только колец с катушкой, но и каждого из колец со всеми остальными).

Объект в виде диска. Рис. %img:ch

В то же время, как увидим далее, отклик на объект очень быстро растёт с увеличением его размеров (при условии, что он остаётся не слишком большим по сравнению с катушкой или расстоянием до катушки - при значительном удалении, после чего рост сильно замедляется). Поэтому вполне разумно предположить, что отклик на маленькую центральную часть монеты много меньше, чем на остающуюся периферийную, а значит, небольшое отверстие в монете не слишком сильно скажется на величине отклика. Определив влияние монеты с "дыркой" на катушку, тем самым можем оценить эффект от цельной монеты того же диаметра и толщины.

Обозначим толщину монеты как d2, диаметр монеты D2 (рис. %img:ch). Диаметр отверстия выберем равным D2 / 3, тогда ширина кольца b2 также будет равна $$ b_2=\frac {D_2-D_2/3} 2=\frac {D_2} 2 - \frac {D_2} 6 = \frac {D_2} 3. $$ Средний радиус кольца, который обозначим как a2, будет равен этой же величине: $$ a_2=\frac 1 2 \frac 1 2 \left( D_2+\frac {D_2} 3 \right)=\frac {D_2} 3 $$ (вычислен как половина среднего диаметра).

Взаимное расположение катушки и монеты. Рис. %img:lc

Будем считать, что монета находится на оси катушки и, более того, их оси совпадают (рис. %img:lc). Это позволит нам оценить максимальный отклик на монету; если оси находятся под углом (плоскость монеты не параллельна плоскости катушки), или монета находится в стороне от оси катушки, взаимная индуктивность и величина отклика уменьшаются. По правде говоря, взаимная индуктивность не всегда наибольшая, когда монета и катушка соосны. Например, если монета находится в плоскости катушки, взаимная индуктивность больше, когда монета смещена от центра и ближе к контуру катушки (к проводу, где магнитное поле самое сильное). Однако, уже при минимальном удалении от плоскости катушки, этот эффект ослабевает и исчезает. Поэтому в целом, отклик на объекты, находящиеся на оси катушки можно использовать для оценки максимального отклика.

Как известно из курса общей физики, напряжённость магнитного поля на оси кругового витка равна $$ H_1=\frac {i_1 a_1^2} {2 (a_1^2+h^2)^{3/2}}, $$ i1 - сила тока в витке; a1 - радиус витка; h - расстояние от центра витка (центра круга) до точки на оси, где вычисляется напряжённость магнитного поля H1. Под H1 здесь понимается проекция вектора \(\vec {H_1}\) на ось витка. В точках, лежащих на оси витка только эта проекция отлична от нуля. Индекс в обозначении H1 указывает на то, что поле создаётся витком. Сила тока - алгебраическая величина (со знаком), ток считаем положительным, если он совпадает с направлением обхода контура (витка). Для выбора направления обхода, выбираем удобное для нас направление оси, тогда направление обхода должно образовывать правовинтовую систему с осью.

Если катушка имеет n1 компактно размещённых витков, то её поле будет таким же, как поле одного витка с током в n1 большим тока в катушке: $$ H_1=\frac {i_1 n_1 a_1^2} {2 (a_1^2+h^2)^{3/2}}. $$ Соответственно, магнитная индукция в точках на оси $$ B_1=\mu \mu_0 H_1=\frac {\mu_0 i_1 n_1 a_1^2} {2 (a_1^2+h^2)^{3/2}} $$ (считаем магнитную проницаемость среды равной 1).

Будем считать, что монета не слишком велика, так что поле в пределах неё можно рассматривать как однородное, тогда магнитный поток создаваемого катушкой поля через поверхность монеты составит $$ \Phi_{21}=B_1 S_2. $$ Наше кольцо является довольно широким, поэтому возникает вопрос, какую конкретно величину выбрать в качестве площади S2. Выберем среднее значение между площадью, ограничиваемой внутренним и внешним контурами кольца (радиусы D2 / 6 и D2 / 2 соответственно). Конечно, такой выбор является в значительной степени произволом, и, вероятно, приведёт к большим погрешностям в результатах. Однако, в данный момент основная задача - оценить порядок величин и выявить общие закономерности. При необходимости, можно воспользоваться более точными выражениями и повторить расчёты. Кроме того, полученные результаты предстоит проверить другими вычислительными методами, а также экспериментально. Итак, $$ S_2=\frac 1 2 \left( \frac {\pi D_2^2} {36} + \frac {\pi D_2^2} 4 \right) = \frac {\pi D_2^2} 2 \frac {10} {36}= \frac {5 \pi} {36} D_2^2, \\ \Phi_{21}=\frac {\mu_0 i_1 n_1 a_1^2} {2 (a_1^2+h^2)^{3/2}} \frac {5 \pi} {36} D_2^2 \approx \\ \approx \frac {\mu_0 i_1 n_1 a_1^2 D_2^2} {4.584 (a_1^2+h^2)^{3/2}}, \\ M=\frac {\Phi_{21}} {i_1} \approx \frac {\mu_0 n_1 a_1^2 D_2^2} {4.584 (a_1^2+h^2)^{3/2}}. $$ Теперь, зная величину взаимной индуктивности, вычислим отклик на монету по формуле \eqref{resp_simp}: $$ |\varepsilon_{L1}| \approx \frac {M^2} {L_1 L_2}. $$

Для вычисления индуктивностей, воспользуемся приближёнными формулами из справочной литературы (например, смотрите [%link:calc_l]).

Катушку будем считать круговой с круглым сечением, её индуктивность $$ L=\mu_0 n^2 a k, $$ где n - количество витков; a - средний радиус; k - коэффициент, зависящий от форм-фактора катушки \(\gamma=r/(2a)\) (r - радиус сечения катушки), $$ k \approx \left(1+\frac {\gamma^2} 2\right) \ln \frac 4 \gamma - 1.75 + \frac {\gamma^2} 6. $$ С изменением соотношения \(r/(2a)\), коэффициент k изменяется довольно медленно, поэтому зададимся конкретным значением соотношения для вычисления L, а полученный результат обобщим на произвольные катушки. При этом потеряем в точности, но приблизительные оценки выполнить сможем (изменение форм фактора от 0.001 до 0.1, т.е. на два порядка, приводит к изменению коэффициента k от примерно 6.5 до примерно 2.0, это изменение чуть более чем в 3 раза - остаёмся в пределах одного порядка). Важно, что благодаря приближению получим простые соотношения, пригодные для дальнейшего анализа и дающие важную информацию об основных закономерностях.

Пусть \(r/(2a) \approx 0.01\), тогда индуктивность катушки $$ \begin{equation} L \approx 4.242 \mu_0 n^2 a. \label{l_eq} \end{equation} $$

Индуктивность кругового кольца прямоугольного сечения может быть вычислена как $$ L \approx \mu_0 a \left( \ln \frac {8 a} {d+b} - 0.5 \right). $$ Строго говоря, формула предназначена для колец с малыми линейными размерами сечения по сравнению с их радиусом. Но для решения оценочных задач, получаемую точность будем считать достаточной. В нашем случае $$ a=D/3, \\ b=D/3, \\ d \ll b, $$ где D - диаметр монеты; d - её толщина. Таким образом, $$ L \approx \frac {\mu_0 D} 3 (\ln 8 - 0.5) \approx 0.5265 \mu_0 D. $$

Подставляя выражения для индуктивности катушки и монеты и их взаимной индуктивности в формулу для вычисления величины отклика, получаем $$ |\varepsilon_{L1}| \approx \frac {M^2} {L_1 L_2}=\frac {\mu_0^2 n_1^2 a_1^4 D_2^4} {4.584^2 (a_1^2+h^2)^3} \frac 1 {4.242 \mu_0 n_1^2 a_1} \frac 1 {0.5265 \mu_0 D_2} \approx \\ \approx \frac {a_1^3 D_2^3} {46.9 (a_1^2+h^2)^3}. $$

Итак, отклик на монету может быть оценён как $$ |\varepsilon_{L1}| \approx \frac {a_1^3 D_2^3} {46.9 (a_1^2+h^2)^3}. $$ Следует иметь в виду, что постоянная 46.9 в формуле, на самом деле не вполне постоянная, а является коэффициентом, в некоторой степени зависящим от конструкции катушки, формы и размеров объекта. Но для приближённых вычислений (особенно для оценки порядков величин) этой зависимостью можно пренебречь. Если точность результата не устраивает, всегда можно вернуться к исходному выражению \eqref{resp_simp} и подставить в него уточнённые значения M, L1, L2. Кроме того, индуктивность L1 может быть непосредственно измерена, если имеется уже изготовленная катушка.

Как и предполагалось ранее, отклик быстро растёт с увеличением размеров объекта, для монеты он оказался пропорционален третьей степени её диаметра. Значит предположение о том, что влияние монеты с отверстием будет примерно таким же, как и целой монеты, может считаться вполне правомерным. Так, отклик на отдельно взятую центральную часть диаметром 1/3 от диаметра всей монеты, составит всего 1/27 от отклика на всю монету, этой величиной можно пренебречь.

Кроме величины отклика, нас интересует минимальная частота, необходимая для поиска монеты данных размеров. Воспользуемся соотношением \eqref{fmin}; индуктивность мы нашли выше, сопротивление вычислим как сопротивление витка провода длиной \(2 \pi a_2=2 \pi D_2/3\) с площадью поперечного сечения \(d_2 b_2=d_2 D_2/3\) (сопротивление или проводимость кольца можно вычислить точно путём интегрирования, но в данном случае это вряд ли имеет смысл из-за значительной погрешности вычисления прочих величин; погрешность используемой здесь оценки сопротивления составляет около 10%) $$ R \approx \frac {2 \pi a_2} {\sigma d_2 b_2}=\frac {2 \pi} {\sigma d}, $$ \(\sigma\) - удельная проводимость материала монеты. Тогда $$ f_{min} \approx \frac {R_2} {\pi L_2} \approx \frac {2 \pi} {\pi \sigma d_2 0.5265 \mu_0 D_2}, \\ \begin{equation} f_{min} \approx \frac {3.80} {\mu_0 \sigma d_2 D_2}. \label{fmin1} \end{equation} $$ Минимальная рабочая частота оказалась обратно пропорциональной поперечному сечению предмета \((d_2 D_2)\): чем больше предмет, который требуется найти, тем ниже может быть выбрана рабочая частота; для поиска мелких объектов (или очень тонкостенных), требуется более высокая рабочая частота. Также имеется зависимость минимальной частоты от удельной проводимости материала: для предметов из хорошо проводящих материалов, частота может быть снижена, для плохо проводящих материалов необходима более высокая частота.

Анализ результатов

Для отклика на монету мы получили формулу $$ \begin{equation} |\varepsilon_{L1}| \approx \frac {a_1^3 D_2^3} {46.9 (a_1^2+h^2)^3}. \label{cresp} \end{equation} $$ Посмотрим, какие из неё следуют выводы.

Зависимость отклика от глубины.

Как видим, отклик зависит от расстояния от центра катушки до объекта h, чем расстояние (или глубина) больше, тем слабее отклик. При малых глубинах, пока \(h^2 \ll a_1^2\), падение отклика с увеличением глубины сравнительно медленное, но затем оно ускоряется и, начиная с h, примерно равного диаметру катушки, т.е. 2*a1, отклик становится практически обратно пропорциональным 6-й степени глубины: $$ |\varepsilon_{L1}| \approx \frac {a_1^3 D_2^3} {46.9 h^6} \text{ при} \\ h^2 \gg a_1^2. $$ Это объясняет высокую сложность существенного увеличения глубины поиска металлоискателя. Так, для увеличения максимальной глубины поиска вдвое, порог чувствительности прибора к изменению индуктивности катушки должен быть снижен более чем в 60 раз. Это довольно трудная задача, особенно с учётом усиления влияния нежелательных отклонений параметров катушки под действием различных дестабилизирующих факторов (деформация из-за перепадов температуры или механических нагрузок, влияние грунта и др.).

Максимальным отклик будет при очень малых глубинах залегания объекта $$ |\varepsilon_{L1}| \approx \frac 1 {46.9} \left( \frac {D_2} {a_1} \right)^3 \text{ при} \\ h^2 \ll a_1^2. $$ Этим соотношением определяется минимальный размер в принципе ещё обнаружимых предметов, который зависит от чувствительности прибора и размера катушки: $$ D_2 \approx a_1 \cdot \sqrt[3]{46.9 |\varepsilon_{L1}|}. $$ Чем катушка больше, тем больше должен быть размер предмета, чтобы прибор данной чувствительности был способен его обнаружить; зависимость прямо пропорциональная. Наоборот, металлоискатель с маленькой катушкой способен обнаружить мелкие объекты. Но только вблизи к поверхности, с увеличением глубины величина отклика стремительно падает.

Зависимость отклика от размеров объекта.

Отклик на монету пропорционален третьей степени её диаметра, т.е. довольно быстро растёт с увеличением размеров объекта. И быстро падает с уменьшением размеров, что создаёт трудности с поиском очень малых объектов, для обнаружения которых требуется увеличивать чувствительность прибора и/или уменьшать размеры катушки (но с уменьшением размеров катушки быстро падает максимальная глубина поиска).

Для очень больших предметов соотношение \(|\varepsilon_{L1}|\sim D_2^3\) перестаёт выполняться и с дальнейшим ростом размеров, увеличение отклика сначала замедляется, затем практически прекращается. Это объясняется тем, что формула для величины отклика выводилась в предположении о малости объекта, так чтобы поле катушки в его пределах можно было считать практически однородным. Если же предмет большой, в более удалённых от центра катушки его областях магнитное поле оказывается более слабым, это же можно сказать и о вызываемых этим полем вихревых токах. В то же время, создаваемое вихревыми токами поле от более удалённых областей, будет оказывать меньшее влияние на катушку. С учётом всего этого, как бы ни был велик объект, его эффективный размер оказывается ограниченным. Кстати, это объясняет существование теоретической предельной глубины обнаружения. На большей глубине прибор с данной чувствительностью и катушкой не сможет ничего обнаружить в принципе, даже бесконечно большой объект.

Зависимость отклика от размеров катушки.

Радиус катушки входит как в числитель, так и в знаменатель выражения \eqref{cresp}, в связи с чем зависимость отклика от размера катушки оказывается неоднозначной. Поведение отклика как функции от радиуса катушки можно исследовать, вычислив производную отклика по радиусу. Получим следующее.

Если глубина (расстояние до предмета) мала, меньше радиуса катушки, то с увеличением радиуса отклик уменьшается.

Если глубина больше радиуса катушки, с увеличением радиуса отклик увеличивается.

Отклик максимален, когда радиус катушки равен глубине. Впрочем, данный вывод имеет малую практическую ценность, так как обычно глубина залегания предмета заранее неизвестна.

Выбирать радиус катушки следует исходя из желаемой максимальной глубины поиска и минимального размера обнаруживаемых предметов. Чем больше катушка, тем большей получается максимальная глубина поиска, но меньше отклик на любые объекты (значит обнаружить можно только крупные, мелкие не будут "видны", даже если они находятся на поверхности). Чем меньше радиус катушки, тем больше отклик на объекты, значит, могут быть обнаружены даже очень малые предметы, но только вблизи поверхности - у маленькой катушки оказывается очень малой максимальная глубина поиска; на большой глубине не будут найдены даже очень крупные объекты (уменьшается глубина, начиная с которой отклик становится обратно пропорциональным её 6-й степени).

Примеры расчёта рабочей частоты и величины отклика

Рассмотрим несколько практических примеров, для того чтобы можно было оценить порядок величин рабочей частоты и отклика на объект.

В качестве объектов поиска рассмотрим две монеты: 5 копеек СССР и 1 копейка СССР. Размеры монет примем равными:
5 коп.: диаметр 25 мм, толщина 1.5 мм;
1 коп.: диаметр 15 мм, толщина 0.9 мм;
будем считать, что материал - латунь (удельную проводимость примем равной 13*106 1/(Ом*м)).

Подставляя данные в формулу \eqref{fmin1}, получаем минимальную рабочую частоту, для поиска латунных объектов, не меньших:
5 коп.: fmin = 6 кГц;
1 коп.: fmin = 17 кГц.

Таким образом, если мы ищем объекты типа 5 коп. и крупнее, можем выбрать рабочую частоту около 6 кГц или выше. Если хотим обеспечить эффективный поиск, начиная с объектов типа 1 коп., следует выбирать рабочую частоту 17 кГц или выше.

Если бы монеты были медные (проводимость около 56*106 1/(Ом*м)), то получили бы значения 1.4 кГц и 4 кГц соответственно. По этой же формуле получаем, что для поиска медных крупинок с размерами порядка 1 мм желательна частота не менее 50..55 кГц; для серебряных крупинок - не менее 50 кГц; золотых - не менее 70 кГц (грубое приближение, так как формула выведена для объектов в форме диска, толщина которых много меньше диаметра; но общая закономерность такова: чем меньше объект, тем выше должна быть частота).

Определив частоту, обеспечивающую эффективный поиск интересующих нас предметов, перейдём к оценке величины отклика на разные объекты.

В следующей таблицы приведены данные для тех же монет, полученные в результате расчёта по формуле; в результате проведения измерений на экспериментальной установке и вычисленные путём численного анализа вихревых токов.

h, см \(\varepsilon\), по формуле \(\varepsilon\), численный анализ \(\varepsilon\), измерения
5 коп.
0 8.7e-4 1.0e-3 1.1e-3
3.5 4.7e-4 5.4e-4 5.6e-4
4.5 3.3e-4 3.8e-4 3.1e-4
8.5 6.5e-4 7.4e-5 8.7e-5
1 коп.
0 1.9e-4 2.1e-4 2.1e-4
3.5 1.0e-4 1.0e-4 1.0e-4

Параметры используемого оборудования: небольшая катушка с диаметром 145 мм (a1 = 7.25 мм) и индуктивностью 0.20 мГн (что примерно на 10% ниже значения по формуле \eqref{l_eq}, но ошибка невелика); катушка включена в состав прибора, работающего на основе измерения частоты. Рабочая частота выбрана заведомо высокой, примерно 110 кГц.

Сопоставляя табличные данные, видим, что в расчётных точках выведенная формула не только дала возможность оценить отклик по порядку величины, но и показала неплохую точность. Расхождение с результатами численного анализа вихревых токов составляет около 10%, что очень хорошо с учётом использования довольно грубых приближений.

Экспериментальные данные вполне согласуются с теоретическими результатами. Имеющиеся расхождения объясняются значительной погрешностью измерений и сильным влиянием на результат точности позиционирования объекта в процессе измерений.

Источники

%link:calc_l. "Калантаров П. Л., Цейтлин Л. А. Расчёт индуктивностей: Справочная книга (3-е изд.), 1986.

author: hamper; date: 2020-01-15
  @Mail.ru