[Home]

Выпрямительный мост с емкостным балластом

Вероятно, это самый простой, дешёвый и компактный из всех возможных вторичных источников электропитания небольшой мощности*. Его простота и дешевизна самым прямым образом сказываются на качестве рабочих характеристик и порождают массу недостатков. В связи с этим, практически всегда следует избегать этого варианта; так что если само устройство стоит чуть дороже чем бесплатно, не стоит экономить на его источнике питания, выбирая ненадёжный, нестабильный, небезопасный.

* На самом деле нет пределов упрощению, особенно на рынке дешёвых китайских товаров. Например, можно предложить родственную, но более простую схему: Выпрямитель-удвоитель напряжения с емкостным балластом .

На практике такую схему можно встретить в устройствах низшей ценовой категории, например в дешёвых светодиодных лампах.

Устройство
Анализ схемы в установившемся режиме
   Общие вопросы
   Входной ток: как функция времени и амплитуда
   Потребляемая мощность
   Ток нагрузки
   Чувствительность тока нагрузки к изменению напряжения сети
   Расчёт в случае линейной нагрузки
   Действующее значение входного тока схемы
Свойства
Достоинства и недостатки



Устройство

Схема мостового выпрямителя с емкостным балластом

На схеме u - источник напряжения (сеть). Будем считать, что мгновенное напряжение изменяется по закону $$ u(t)=U_a \sin \frac {2\pi t}T, $$ Ua - амплитуда сетевого напряжения, T - период колебаний. Двухполупериодный мостовой выпрямитель подключён к сети через балластный конденсатор C. К выходу выпрямителя подключается нагрузка R и сглаживающий пульсации конденсатор Cs.

По сути, схема является ёмкостно-резистивным делителем, где одно плечо образовано конденсатором, а другое - нагруженным выпрямителем. Выходное напряжение очень сильно зависит от сопротивления нагрузки. Поэтому схема может использоваться в случаях, если сопротивление нагрузки стабильное или нагрузка выполняет функцию стабилизации напряжения (например: нагрузка с параллельно включённым стабилитроном, светодиод, заряжаемый аккумулятор). Если сопротивление нагрузки много меньше реактивного сопротивления балласта, схема может использоваться в качестве источника (генератора) тока, так как в этом случае ток через нагрузку будет слабо зависеть от напряжения на ней (до тех пор, пока это напряжение много меньше амплитуды напряжения в сети).

Схема мостового выпрямителя с емкостным балластом с дополнительными элементами

Реальная схема должна, как минимум, дополнительно содержать резистор R0, ограничивающий начальный ток заряда конденсатора при включении устройства в сеть и, разумеется, предохранитель. Минимальное сопротивление резистора выбираем исходя из параметров моста: R0>Ua/Ifsm, Ifsm - максимально допустимый импульсный однократный неповторяющийся прямой ток (выпрямительные диоды и мосты рассчитаны на емкостную нагрузку и выдерживают значительные токи заряда подключённых к ним конденсаторов; для диодов/мостов с максимальным средним прямым током 1 А, максимально допустимый ток заряда может быть порядка 30 А). Максимальное сопротивление R0 определяется максимально допустимым падением напряжения в установившемся режиме и должно быть много меньше реактивного сопротивления конденсатора: \(R0 \ll X_c\). Для правильного выбора максимально допустимой рассеиваемой мощности резистора Pm, необходимо оценить действующее значение потребляемого от сети тока Ie и выбрать \(P_m \gt I_e^2 R\). О расчёте действующего значения смотрите далее.

Данная схема устойчива к короткому замыканию в нагрузке, так как балластный конденсатор выполняет функцию защиты, ограничивая своим реактивным сопротивлением максимальный ток в цепи. Предохранитель FUSE нужен для защиты в случае пробоя конденсатора, когда потребляемый ток может возрасти до очень больших значений, ограничиваемых лишь сопротивлением R0 и сопротивлением нагрузки.

Для безопасности пользователя, параллельно балластному конденсатору необходимо подключить резистор, который обеспечит разряд конденсатора после отключения схемы от сети за время, не превышающее нескольких секунд. Несмотря на то, что сглаживающий конденсатор разряжается через нагрузку, полагаться на это не стоит и для него желательно также предусмотреть разряжающий резистор (особенно если выходное напряжение достаточно высокое), так как разряд через нагрузку может оказаться слишком медленным или возможны другие ситуации, например, когда нагрузка отключается при падении напряжения на ней ниже некоторого уровня.

Кроме этого, желательно в реальную схему включить элемент, защищающий нагрузку от превышения напряжением допустимого предела (например, стабилитрон достаточной мощности), а также схему фильтрации на входе для защиты источника тока от помех в сети и для предотвращения проникновения в сеть помех от самого источника и от подключённой к нему нагрузки. К выходу выпрямителя может быть подключена дополнительная схема стабилизации. После всех усовершенствований схема станет значительно менее простой и дешёвой. Так что она лишиться всех своих достоинств и будет состоять из сплошных недостатков. Поэтому в нашем действительном, жестоком мире бывают случаи, когда выпрямитель с конденсаторным балластом используется без резистора, ограничивающего зарядный ток, без предохранителя и даже без сглаживающего конденсатора на выходе (либо может использоваться конденсатор мизерной ёмкости).

Анализ схемы в установившемся режиме

Для анализа работы выпрямителя с емкостным балластом, в первом приближении будем считать, что напряжение на выходе мостового выпрямителя в установившемся режиме неизменно и равно U0, наличием пульсаций напряжения пренебрегаем. Требование U0=const выполняется с большой точностью в большинстве случаев при наличии сглаживающего конденсатора достаточной ёмкости, особенно когда параллельно нагрузке включён стабилитрон или при работе на цепь последовательно соединённых светодиодов, как это происходит в светодиодной лампе.

Выпрямитель будем считать идеальным (состоящим из идеальных, безинерционных диодов, с бесконечным обратным сопротивлением и без падения напряжения в открытом состоянии).

Пусть входное (сетевое) напряжение имеет амплитуду Ua и мгновенное напряжение изменяется по закону \( u(t)=U_a\sin \frac {2\pi t} T \).

Задача состоит в том, чтобы определить среднюю потребляемую цепью мощность, мгновенное значение входного тока устройства (как функцию времени), амплитудное значение этого тока, действующее значение тока на входе и ток через нагрузку.

Диаграмма процессов в мостовом выбрямителе с балластным конленсатором

u(t) - напряжение в сети;
uc(t) - напряжение на конденсаторе балласта;
uin(t) - напряжение на входе выпрямителя;
ic(t) - ток через балласт, равен входному току выпрямителя;
Ua - амплитуда сетевого напряжения; Xc - реактивное сопротивление балласта на частоте сетевого напряжения.

В соответствии со свойствами идеального выпрямителя, если он находится в активном состоянии (открыты диоды в одной из пар - для выпрямления отрицательной или положительной полуволны), напряжение на выходе выпрямителя будет равно модулю напряжения на входе: \( u_{out}=|u_{in}| \), в данном случае \( u_{out}=U_0=const \), \(u_{in}=u(t)-u_c \), где uc - мгновенное значение напряжения на конденсаторе балласта. Если же напряжение на входе по модулю меньше напряжения на выходе, все диоды моста закрыты, т.е. условие, при котором мост закрыт и входной ток равен нулю: \( |u_{in}| \lt u_{out} \). В этом случае ток через балластный конденсатор также равен нулю и напряжение на нём остаётся неизменным в течении всего промежутка времени, пока мост закрыт.

Когда мост открыт, ток через балластный конденсатор равен $$ i_c=C \frac {du_c} {dt}=C \frac {d(u(t) \pm U_0)} {dt}=C \frac d {dt} u(t), $$ т.е. ток при открытом мосте точно такой, как если бы балластный конденсатор был подключён к сети непосредственно и в нашем случае определяется выражением $$ i_c=\frac {2\pi C U_a} T \cos \frac {2\pi t} T. $$ С учётом того, что \( f=1/T, \omega=2\pi f=2\pi/T \) выражение может быть также записано в виде $$ i_c=2\pi f C U_a \cos 2\pi f t, \\ i_c=\omega C U_a \cos \omega t. $$

Из всего этого следует, что переход моста в закрытое состояние (т.е. переход всех диодов моста в закрытое состояние) происходит в моменты времени, когда сетевое напряжение достигает своего амплитудного значения. Например, когда напряжение сети принимает отрицательное амплитудное значение -Ua, напряжение на конденсаторе балласта тоже наибольшее по модулю: $$ |-U_a-u_c|=U_0, \\ -(-U_a-u_c)=U_0, \\ u_c=U_0-U_a, u_c \lt 0. $$ Ток через конденсатор балласта в этот момент обращается в 0, так как в рассматриваемой точке минимума u(t) производная от функции равна 0. Далее u(t) начинает расти, производная от u(t) становится положительной и ток через конденсатор C потёк бы в обратном направлении, но... Мост остаётся закрытым, так как уже выполняется условие \( |u_{in}| \lt u_{out} \): $$ |u_{in}|=-u_{in}=-(u(t)-u_c)=-u(t)+U_0-U_a=U_0+(-u(t)-U_a), \\ |u_{in}| \lt U_0, $$ поскольку \( |u(t)| \lt U_a \) после прохождения точки амплитудного значения; считаем, что \( |u_{in}|=-u_{in} \), в связи с тем, что рассматриваем момент, близкий к точке минимума сетевого напряжения, когда ещё величина \( u_{in} \) не изменила знак.

Мост останется выключенным до начала выпрямления положительной полуволны на его входе, момент включения определяется из условия: $$ u_{in} \ge 0 \, и \, \\ |u_{in}|=U_0, \\ u(t_{on})-u_c=U_0, \\ u(t_{on})-U_0+U_a=U_0, \\ U_a \sin \frac {2\pi t_{on}} T=2 U_0-U_a, \\ \sin \frac {2\pi t_{on}} T=\frac {2 U_0} {U_a}-1. $$ Тогда, если первое рассмотренное событие отключения моста мы отнесём к точке \( t_{off1}=-T/4, u(-T/4)=-U_a \), то следующее за ним событие включения произойдёт в точке $$ \def \%#1% {\mbox {#1} \,} \frac {2\pi t_{on1}} T=\%arcsin% \left(\frac {2 U_0} {U_a}-1\right), \\ t_{on1}=\frac T {2 \pi} \%arcsin% \left(\frac {2 U_0} {U_a}-1\right). $$ Понятно, что включение моста произойдёт в какой-то момент времени между одним отключением и последующим, т.е. между двумя точками, соответствующими последовательным амплитудным значениям входного напряжения, например между моментами -T/4 и +T/4. В зависимости от соотношения величин Ua, U0, этот момент может наступить раньше, позже или совпасть с моментом перехода сетевого напряжения через 0.

После включения моста положительной полуволной, напряжение на балласте будет отвечать соотношению $$ |u_{in}|=U_0, \\ u(t)-u_c=U_0, \\ u_c=u(t)-U_0 $$ вплоть до момента toff2=+T/4 следующего отключения моста, когда сетевое напряжение достигнет амплитудного значения +Ua. В этот момент ток через балласт и входной ток моста обращаются в 0, напряжение на конденсаторе определяется из условия $$ |U_a-u_c|=U_0, \\ U_a-u_c=U_0, \\ u_c=U_a-U_0, u_c \gt 0. $$ Оно остаётся неизменным всё время, пока мост будет закрыт, до момента открытия его отрицательной полуволной входного напряжения в некоторый момент ton2: $$ u_{in} \le 0, \\ |u_{in}|=U_0, \\ -(u(t_{on2})-u_c)=U_0, \\ -u(t_{on2})+U_a-U_0=U_0, \\ -U_a \sin \frac {2\pi t_{on2}} T=2U_0-U_a, \\ \sin \frac {2\pi t_{on2}} T=-\left(\frac {2U_0} {U_a}-1\right). $$ Этот момент находится где-то между моментами toff2=T/4 и моментом следующего отключения моста toff3=3T/4, поэтому $$ \frac {2\pi t_{on2}} T=\pi+\%arcsin% \left(\frac {2U_0} {U_a}-1\right), \\ t_{on2}=\frac T 2 + \frac T {2 \pi} \%arcsin% \left(\frac {2U_0} {U_a}-1\right). $$ Затем происходит отключение моста при достижении сетевым напряжением следующего амплитудного значения и все процессы полностью повторяются. На протяжении одного периода колебаний напряжения в сети, дважды происходит включение и отключение моста: на положительной и отрицательной полуволне входного напряжения моста.

Обобщая полученные выводы, можем записать закон изменения тока потребления нашего выпрямителя с балластным конденсатором: $$ i_c(t)= \left\{ \begin{matrix} 0, t_{off} + \frac T 2 n \le t \lt t_{on} + \frac T 2 n; \\ \frac {2\pi C U_a} T \cos \frac {2\pi t} T, t_{on} + \frac T 2 n \le t \lt t_{off} + \frac T 2 (n+1); \end{matrix} \right. \tag{1} \\ t_{off}=-T/4, t_{on}=\frac T {2\pi} \%arcsin% \left( \frac {2U_0} {U_a} -1 \right), $$ n - целое.

Импульсы тока имеют вид отрезков косинусоиды. Если \( t_{on} \le 0 \), что имеет место при \( U_0 \le 0.5 U_a \), то эти отрезки включают точки \( t=nT/2 \) максимума/минимума функции и в этих точках ток будет принимать амплитудное значение \( I_{ca}=2\pi f C U_a=U_a/X_c \), где Xc - реактивное сопротивление конденсатора в балласте. В таком случае амплитуда тока не зависит от соотношения Ua и U0.

Если же \( t_{on} \gt 0 \), что будет при U0>0.5Ua, то отрезки не включают точки экстремума и наибольшее по модулю (амплитудное) значение будет достигаться током на одном из концов отрезка, а именно в моменты ton+nT/2 (в моменты toff+nT/2 ток, очевидно, равен нулю). Амплитуда импульсов тока в этом случае зависит от соотношения Ua и U0 и равна $$ I_{ca}=\frac {2\pi C U_a} T \cos \frac {2\pi t_{on}} T= \frac {2\pi C U_a} T \cos \left( \frac {2\pi}T \frac T {2\pi} \%arcsin% \left( \frac {2U_0} {U_a} -1 \right) \right)=\\ =2\pi f C U_a \cos \%arcsin% \left(\frac {2U_0} {U_a} -1 \right). $$

Воспользуемся соотношением $$ \cos \%arcsin% x=\sqrt{1-\sin^2\%arcsin% x}=\sqrt{1-x^2}, $$ получим $$ I_{ca}=2\pi f C U_a \sqrt{1-\left( \frac{2U_0}{U_a}-1 \right)^2}=\\ =2\pi f C U_a \sqrt{1-\frac{4U_0^2}{U_a^2}+\frac{4U_0}{U_a}-1}, \\ I_{ca}=4\pi f C U_0 \sqrt{\frac{U_a}{U_0}-1}. $$ С увеличением U0 от 0.5Ua до Ua, амплитуда тока будет убывать от \( 2\pi f C U_a \) до 0.

Ниже приведены графики, иллюстрирующие процессы в схеме при разных соотношениях U0 и Ua.

1. U0<0.5*Ua
Процессы в выпрямителе с конденсаторным балластом при U0 меньше 0.5*Ua

2. U0=0.5*Ua Процессы в выпрямителе с конденсаторным балластом при U0=0.5*Ua

3. U0>0.5*Ua Процессы в выпрямителе с конденсаторным балластом при U0 больше 0.5*Ua

Здесь хорошо видно, что во всех случаях отключение моста происходит в момент достижения сетевым напряжением амплитудного значения. Во втором, граничном случае, длительности интервалов включённого и отключённого состояния моста равны и составляют T/4. В первом случае длительность интервалов со включённым состоянием больше, а в третьем - меньше (импульсы тока приобретают вид коротких, практически треугольных импульсов с амплитудой, убывающей с ростом U0).

Амплитуда колебаний на конденсаторе равна \(U_a-U_0\), она меньше амплитуды сетевого напряжения на величину выходного напряжения. Но это не повод использовать балластный конденсатор, рассчитанный на напряжение, меньшее амплитудного сетевого, так как во время переходного процесса амплитуда может достигать амплитуды напряжения в сети; то же самое произойдёт при коротком замыкании в нагрузке. Как раз наоборот, конденсатор надо выбирать с запасом, учитывающим возможность наличия в сети коротких импульсов высокого напряжения.

Теперь вычислим среднюю потребляемую от сети мощность. В установившемся режиме она будет равна средней за период потребляемой мощности и равна $$ \bar p=\frac 1 T \int\limits_{t_0}^{t_0+T} u(t)i_с(t)dt, $$ здесь t0 - произвольный момент времени.

Для упрощения расчётов примем во внимание, что процессы при первом и втором включениях за период полностью идентичны. Так, пользуясь (1), легко показать, что u(t)ic(t) - периодическая функция с периодом T/2, поэтому средняя мощность может быть рассчитана как среднее значение за полпериода колебаний сетевого напряжения $$ \bar p=\frac 2 T \int\limits_{t_0}^{t_0+T/2} u(t)i_с(t)dt, $$

Здесь удобно в качестве начального момента выбрать t0=-T/4. Учитываем, что ток через балласт отличен от нуля только в интервале между включением и соответствующим ему отключением: $$ \bar p=\frac 2 T \int\limits_{t_{on}}^{T/4} U_a \sin \frac{2\pi t}T \cdot \frac{2\pi} T C U_a \cos \frac{2\pi t}T dt=\\ =\frac{2\pi C U_a^2}{T^2} \int\limits_{t_{on}}^{T/4} 2\sin \frac{2\pi t}T \cos \frac{2\pi t}T dt=\\ =\frac{2\pi C U_a^2}{T^2} \int\limits_{t_{on}}^{T/4} \sin \frac{4\pi t}T dt=\\ ={\left. -\frac{2\pi C U_a^2}{T^2} \frac T{4\pi} \cos \frac{4\pi t}T \right|}_{t_{on}}^{T/4}=\\ =-\frac{C U_a^2}{2T} \left( \cos \frac{4\pi}T \frac T 4 - \cos \frac{4\pi}T \frac T {2\pi} \%arcsin% { \left( \frac{2U_0}{U_a}-1 \right)} \right), $$ $$ \bar p=-\frac{C U_a^2}{2T} \left( \cos \pi- \cos 2 \%arcsin% \left( \frac{2U_0}{U_a}-1 \right) \right) $$

С учётом того, что $$ \cos \pi=-1,\\ \cos 2 \%arcsin% x=1-2\sin^2 \%arcsin% x=1-2x^2, $$ получаем $$ \bar p=\frac{C U_a^2}{2T} \left( 1+1-2\left(\frac{2U_0}{U_a}-1 \right)^2 \right)=\\ =\frac{C U_a^2}{T} \left( 1-\left(\frac{2U_0}{U_a}-1 \right)^2 \right), $$ $$ \bar p=f C U_a^2 \left( 1-\frac{4U_0^2}{U_a^2}+\frac{4U_0}{U_a}-1 \right), \\ \bar p=4 f C U_0 (U_a-U_0). $$ Можно сделать некоторые выводы из полученного выражения. Так, средняя мощность обращается при U0=0 (режим короткого замыкания на выходе). Это объясняется тем, что схема становится эквивалентна просто конденсатору, включённому в сеть, а идеальный конденсатор без потерь не является потребителем активной мощности. Также мощность обращается в 0 при U0=Ua. В этом случае мост всё время закрыт и ток равен 0. Максимум потребляемой мощности получаем при U0=0.5*Ua - этим можно воспользоваться, если требуется передача мощности в нагрузку при условии минимальной ёмкости конденсатора.

Мы считаем, что за счёт наличия сглаживающего конденсатора U0=const (пренебрегаем пульсациями напряжения на нагрузке), тогда и ток через нагрузку будет постоянным. Так как кроме нагрузки никаких других потребителей активной мощности в схеме нет, то мощность, выделяемая на нагрузке равна средней потребляемой мощности от сети. Это позволяет легко вычислить ток через нагрузку: $$ I_l=\frac{\bar p}{U_0},\\ I_l=4f C(U_a-U_0). $$ Получили очень интересный (но вполне интуитивно ожидаемый) результат - величина тока нагрузки прямо пропорциональна разности амплитуды напряжения сети и напряжения на нагрузке и обратно пропорционально реактивному сопротивлению балласта.

Оценим, насколько схема чувствительна к изменению питающего напряжения. Малое приращение тока в нагрузке dIl, соответствующее малому приращению амплитуды сетевого напряжения dUa: $$ dI_{l}=4 f C dU_a, $$ а относительное изменение $$ \varepsilon_{Il}=\frac{dI_{l}}{I_{l}}=\frac{4f C dU_a}{4f C(U_a-U_0)}=\frac{dU_a/U_a}{1-\frac{U_0}{U_a}}, \\ \varepsilon_{Il}=\frac{\varepsilon_{Ua}}{1-\frac{U_0}{U_a}}. $$

Знаменатель выражения всегда меньше 1, так как отношение Ua/U0 может находится в интервале от 0 до 1. Это означает, что относительное изменение тока нагрузки всегда больше вызвавшего его относительного изменения сетевого напряжения и в тех случаях, когда значение U0 велико и соизмеримо с амплитудой сетевого напряжения, возможно многократное превышение. Наоборот, если U0 много меньше амплитуды сетевого напряжения, относительное изменение тока нагрузки примерно равно относительному изменению напряжения сети.

Если нагрузкой выпрямителя является линейный потребитель с сопротивлением R, то ток нагрузки и напряжение на ней связаны соотношением \(U_0=R I_l\). Мы можем найти зависимость напряжения на такого рода нагрузке от сопротивления. $$ I_l=4f C(U_a-U_0), \, I_l=\frac{U_0}R \Rightarrow\\ \frac{U_0}R=4f C(U_a-U_0), \\ \frac{U_0}R+4f C U_0=4f C U_a, \\ U_0=\frac{4f C U_a}{\frac 1 R+4f C} $$ или $$ U_0=\frac{U_a}{\frac 1{4f C R}+1}. $$ С учётом того, что \(X_c=1/(2\pi f C)\) или \(4f C=2/(\pi X_c)\), можем записать в виде $$ U_0=\frac{U_a}{\frac{\pi}2 \frac{X_c}R+1}. $$

Зависимость выходного напряжения от сопротивления нагрузки для мостового выпрямителя с балластным конденсатором

Из полученной формулы видим, что U0 стремится к 0, когда сопротивление нагрузки стремится к 0. При любом конечном R напряжение на выходе U0<Ua и \(U_0 \rightarrow U_a\) при \(R \rightarrow \infty \).

Теперь вычислим действующее значение тока, потребляемого от сети. Действующее значение - среднеквадратическое значение тока, эта величина используется как характеристика теплового действия переменного тока. Если по цепи с сопротивлением R проходит переменный ток с действующим значением Ie, то выделяющаяся в виде тепла мощность равна P=Ie2R. То есть, переменный ток по тепловому эффекту эквивалентен постоянному, с величиной, равной действующему значению переменного тока. Это справедливо только для линейных и чисто активных цепей (без реактивной составляющей). Ни одно из этих условий для выпрямителя с емкостным балластом не выполняется - для сети он является существенно нелинейной нагрузкой с реактивной составляющей. Поэтому потребляемая им мощность не равна произведению действующего значения тока и действующего значения напряжения. С учётом сказанного, казалось бы, особого смысла вычислять для него действующее значение потребляемого тока нет. Но с другой стороны, если мы начнём проводить измерения в цепи, то столкнёмся с тем, что измерительные приборы для цепей переменного тока, в большинстве случаев, измеряют именно действующие значения величин. Кроме того, зная действующее значение потребляемого тока, мы можем рассчитать потери на активном сопротивлении сетевых проводов, по которым схема получает питание (и потери в резисторе, ограничивающем ток заряда балластного конденсатора).

Для переменного тока с периодом T, действующее значение тока $$ I_e=\sqrt{\frac 1 T \int \limits_{t_0}^{t_0+T}i_c^2 dt}, $$ В данном случае, квадрат потребляемого тока - периодическая функция времени с периодом T/2 (можно показать, что \(i_c(t)=-i_c(t+T/2) \Rightarrow i_c^2(t)=i_c^2(t+T/2)\)). Поэтому можем усреднять по отрезку времени длительностью T/2; в качестве такого отрезка выбираем отрезок [-T/4, +T/4] и учитываем, что от момента -T/4 до момента времени ton, потребляемый ток равен 0 (мост закрыт): $$ I_e=\sqrt{\frac 2 T \int \limits_{t_{on}}^{T/4} \frac{4\pi^2 C^2 U_a^2}{T^2} \cos^2 \frac{2\pi t} T dt }=\\ =2\pi f C U_a \sqrt{\frac 2 T \int \limits_{t_{on}}^{T/4} \frac{1+\cos \frac{4\pi t} T} 2 dt}=\\ =2\pi f C U_a \sqrt{ {\left. \frac 1 T \left(t+\frac T{4\pi}\sin \frac{4\pi t} T \right) \right|}_{t_{on}}^{T/4} }, $$

$$ I_e=2\pi f C U_a \sqrt{\frac 1 T \left( \frac T 4 - t_{on}+\frac T{4\pi} \sin \pi - \frac T{4\pi} \sin \frac{4\pi t_{on}} T \right)}. $$ Окончательно получаем, что $$ I_e=\pi f C U_a \sqrt{1-\frac{4t_{on}}T-\frac 1 \pi \sin \frac{4\pi t_{on}}T}, \\ t_{on}=\frac T {2\pi} \%arcsin% \left( \frac {2U_0} {U_a} -1 \right). $$

График зависимости действующего значения входного тока от напряжения на нагрузке для выпрямителя с емкостным балластом

Как видим, когда U0 достигает значения Ua, действующее значение становится равным 0 (в этом случае ton=+T/4). При работе в режиме короткого замыкания на выходе выпрямителя, действующее значение потребляемого от сети тока становится максимальным (в то время как потребляемая мощность будет равна нулю): $$ U_0=0, t_{on}=-T/4, \\ I_e=\pi f C U_a \sqrt 2=\sqrt 2 \frac {2\pi f C U_a}2=\frac {\sqrt 2}2 \frac {U_a}{X_c}=\frac 1 {\sqrt 2} \frac {U_a}{X_c}=\frac {I_a}{\sqrt 2} $$ (здесь под Ia понимаем Ua/Xc).

Свойства

Теперь кратко перечислим полученные результаты.

В зависимости от сопротивления нагрузки, на выходе выпрямителя может быть получено напряжение U0 от 0 (в режиме короткого замыкания на выходе) до амплитудного значения сетевого напряжения Ua (при бесконечном сопротивлении нагрузки).

Ток через нагрузку при данном напряжении на нагрузке и при данной амплитуде напряжения в сети $$ I_{l}=4f C(U_a-U_0). $$ Ток может быть очень чувствителен к изменению сетевого напряжения или изменению напряжения на нагрузке, особенно когда напряжение на нагрузке становится соизмеримым с амплитудой напряжения в сети: $$ \varepsilon_{Il}=\frac{\varepsilon_{Ua}}{1-\frac{U_0}{U_a}}. $$ Результат от изменения напряжения на нагрузке будет таким же (только с противоположным знаком), так как Ua и U0 входят в формулу тока в нагрузке равноправным образом.

Напряжение на конденсаторе балласта имеет вид импульсов с амплитудой Ua-U0, со сложной формой: вершины импульсов являются горизонтальными("срезаны" по уровням \(\pm(U_a-U_0)\)), фронты и спады - отрезки синусоиды. Но это в установившемся режиме работы, а во время переходных процессов при включении, напряжение на конденсаторе балласта может достигать амплитудных значений сетевого напряжения.

Ток через конденсатор балласта, который равен входному току выпрямительного моста, равен 0 в промежутки времени когда мост закрыт, а когда мост открыт мгновенные значения этого тока такие же, как если бы конденсатор был подключён непосредственно к источнику сетевого напряжения. Аналитически выражается следующим образом: $$ i_c(t)= \left\{ \begin{matrix} 0, t_{off} + \frac T 2 n \le t \lt t_{on} + \frac T 2 n; \\ \frac {2\pi C U_a} T \cos \frac {2\pi t} T, t_{on} + \frac T 2 n \le t \lt t_{off} + \frac T 2 (n+1); \end{matrix} \right. \tag{1} \\ t_{off}=-T/4, t_{on}=\frac T {2\pi} \%arcsin% \left( \frac {2U_0} {U_a} -1 \right), n \in Z. $$ Здесь предполагается, что сетевое напряжение имеет вид \(u(t)=U_a \sin(2\pi t/T)\).

Амплитуда импульсов входного тока (тока через балластный конденсатор) $$ I_{ca}= \left\{ \begin{matrix} 2\pi f C U_a, U_0/U_a \le 0.5; \\ 4\pi f C U_0 \sqrt{\frac{U_a}{U_0}-1}, U_0/U_a \ge 0.5. \end{matrix} \right. $$

Действующее значение потребляемого схемой тока $$ I_e=\pi f C U_a \sqrt{1-\frac{4t_{on}}T-\frac 1 \pi \sin \frac{4\pi t_{on}}T}, \\ t_{on}=\frac T {2\pi} \%arcsin% \left( \frac {2U_0} {U_a} -1 \right). $$

Закрывается мост в моменты, когда сетевое напряжение достигает своего амплитудного значения (отрицательного или положительного). Открывается в момент времени, зависящий от соотношения величин U0 и Ua. Момент, когда мост открывается отстоит от момента закрытия на величину $$ \Delta t=t_{on}-t_{off}=\frac T 4 + \frac T {2\pi} \%arcsin% \left( \frac {2U_0} {U_a} -1 \right). $$

Средняя потребляемая схемой мощность $$ \bar p=4 f C U_0 (U_a-U_0). $$

Достоинства и недостатки

Наиболее очевидные достоинства схемы: простота, дешевизна, компактность, низкое тепловыделение, возможность работать в режиме источника тока (генератора постоянного тока), устойчивость к короткому замыканию в нагрузке.

Теперь обратимся к списку основных недостатков, который хотя и не претендует на полноту, тем не менее, более обширен. Главный недостаток состоит в том, что имеется гальваническая связь с сетью, а значит подобный источник питания небезопасен и может использоваться только если питаемое устройство в целом имеет надёжную изоляцию, отсутствуют неизолированные органы управления и не предполагается подключение к другим устройствам по какому-либо проводному интерфейсу без гальванической развязки. Данный источник питания является нелинейным потребителем для сети, а также имеет реактивную составляющую потребляемого тока (потребляемый мгновенный ток не пропорционален мгновенному напряжению; имеется сдвиг фаз между током и напряжением; потребляемый ток имеет вид импульсов); создаёт помехи в сети и сам подвержен действию помех; режим работы сильно зависит от напряжения в сети, частоты, коэффициента искажений; схема чувствительна к импульсным помехам в сети; выходное напряжение сильно зависит от нагрузки и может достичь амплитудного сетевого напряжения при падении тока, потребляемого нагрузкой. При включении схемы в сеть возникают переходные процессы, связанные с зарядом конденсатора и сопровождающиеся начальным броском тока. Это сокращает срок службы самого устройства и является дополнительным источником помех для сети. В случае пробоя балластного конденсатора, мост оказывается под полным сетевым напряжением (а пробой конденсатора - достаточно распространённая неисправность, тем более подключенный к сети с её импульсными выбросами напряжения, он находится не в самых благоприятных условиях). Соответственно, и нагрузка получит выпрямленное полное сетевое напряжение, что может сопровождаться неприятными и небезопасными эффектами. В то время как добропорядочный источник питания, в случае аварийной ситуации, должен выходить из строя с минимальными последствиями и для себя и для питаемого устройства.

Среди недостатков рассматриваемого источника питания была отмечена его нелинейность для питающей сети. Теме нелинейности потребителей тока будет посвящена отдельная статья, сейчас сделаем несколько замечаний. В идеале, все потребители электроэнергии, подключаемые к сети переменного тока, должны быть линейными: в любой момент времени потребляемый ими ток должен быть пропорционален мгновенному напряжению в сети, т.е. они должны быть эквивалентны резистору с некоторым сопротивлением. В любом другом случае возникнут проблемы. В любом другом случае, потребляемый от сети ток не будет гармоническим, он будет содержать в своём спектре составляющие с частотами, кратными частоте сети вплоть до достаточно высоких частот. Это увеличивает потери как в подводящих проводах, так и в трансформаторе на трансформаторной подстанции. С ростом частоты увеличивается эффективность проводки как излучателя помех. В связи с тем, что любой источник имеет ненулевое внутреннее сопротивление, искажается форма напряжения в сети, что влияет на работу всех подключённых к ней устройств.

Выпрямитель с конденсаторным балластом очень чувствителен как к частоте питающей сети (впрочем, она весьма стабильна), так и к отклонению формы напряжения от чисто синусоидальной, т.е. к наличию спектральных составляющих в результате того, что реактивное сопротивление падает с ростом частоты. И поскольку в последнее время количество нелинейных потребителей сильно возросло, искажения формы сетевого напряжения могут сильно повлиять на режим работы выпрямителя с балластом.

С другой стороны, сам такой выпрямитель также искажает форму сетевого напряжения, поскольку является весьма нелинейным потребителем! Так если подключить к одному источнику переменного напряжения два выпрямителя с емкостным балластом, то, несмотря на то, что напряжение источника из-за падения на внутреннем сопротивлении уменьшится, ток в нагрузках этих выпрямителей вырастет! Эффект от искажения формы сигнала превысит эффект от падения напряжения на внутреннем сопротивлении.

Конечно, обычно по подобной схеме выполняют маломощные источники питания и влияние на мощную сеть одного такого источника невелико. Однако если их много... Или если рядом включен мощный нелинейный потребитель, результат может быть весьма неожиданным (или скорее вполне ожидаемым).

author: hamper; date: 2016-08-24
  @Mail.ru