[Home]

Умножитель напряжения под нагрузкой. Умножители с нечётным коэффициентом

В этом документе рассмотрим процессы в умножителях с нечётным коэффициентом и покажем, что на эти устройства могут быть распространены результаты анализа умножителей с чётным коэффициентом, так как различия в характеристиках хотя и имеются, но они незначительны.

Анализ умножителей аналогичен таковому для умножителей с чётным коэффициентом, поэтому здесь изложение будет кратким и те положения, которые были доказаны ранее, будут использоваться без обоснования.

Оглавление
Уравнения установившегося режима умножителя при наличии нагрузки
Решение системы уравнений умножителя в установившемся режиме

Ссылки на внешние документы
Умножитель напряжения [Основной документ]
   Переходный процесс в умножителе напряжения при включении
   Умножитель напряжения под нагрузкой
   Умножитель напряжения под нагрузкой. Детализированный анализ



Уравнения установившегося режима умножителя при наличии нагрузки

Пусть имеется умножитель напряжения с нечётным коэффициентом m, подключённый к источнику синусоидального напряжения с амплитудой Ua и частотой F (с периодом колебаний T=1/F). Все конденсаторы умножителя имеют одинаковую ёмкость C. К умножителю подключена нагрузка, потребляющая ток I. Умножитель находится в установившемся режиме работы (переходный процесс завершился, все токи и напряжения в цепи являются периодическими с периодом T).

Диаграмма процессов переключения в умножителе Рис. 1

Рассмотрим процессы в первом полутакте работы умножителя, который начинается в момент, когда u(t)=+Ua и завершается в момент, когда u(t)=-Ua; длительность полутакта составляет T/2. Обозначим напряжения на конденсаторах Ck (k=1, 2, ..., m) в начале полутакта через Uk, а в конце полутакта, или в начале следующего, через U'k. В первом полутакте работают (поочерёдно открываются) диоды с чётными номерами. Напряжения на конденсаторах Ci-1, Ci в момент, когда закрывается диод Di, i=2, 4, ..., m-1, обозначим U'*i-1 и U'*i соответственно.

Схема умножителя напряжения на m (общий случай, нечётный коэффициент) Рис. 2

Каждый из полутактов включает начальную пассивную фазу, когда все диоды умножителя закрыты и активную, в процессе которой происходит переключение диодов и обмен зарядами между конденсаторами. Будем считать, что каждый диод пребывает в открытом состоянии одинаковый промежуток времени \(\theta_1\).

Диоды во время активной фазы открываются и закрываются последовательно, поочерёдно. В первом полутакте первым открывается диод Dm-1, затем он закрывается в тот момент, когда открывается Dm-3 и т.д. Последним открывается D2, в момент, когда закрывается D4. Закрывается D2 вместе с завершением первого полутакта (и началом второго).

Момент времени, когда закрывается диод Di, i=2, 4, ..., m-1 относительно начала полутакта определяется соотношением $$ \tau'_i=\frac T 2-\frac{i-2}2 \theta_1, $$ при этом до конца полутакта остаётся время, равное $$ \chi'_i=\frac{i-2}2 \theta_1. $$

Составляем уравнения для моментов перехода в закрытое состояние каждого из диодов Di, i=2, 4, ..., m-1. Случай i=2 должен быть рассмотрен отдельно, $$ U'^*_2-U'^*_1=U_a \text{ или} \\ U'^*_1-U'^*_2=-U_a, \\ U'^*_1+U'^*_2=U_1+U_2-\Delta U, \tag{1} $$ где \(\Delta U\) - величина, зависящая от тока нагрузки I, ёмкости конденсаторов умножителя C и от частоты (периода) питающего напряжения, $$ \Delta U=\frac I C \frac T 2=\gamma \frac T 2, \\ \gamma=\frac I C. $$ Из уравнений (1), с учётом того, что \(\chi_2=0\), получаем $$ U'_1=U'^*_1=\frac 1 2 (-U_a+U_1+U_2-\Delta U), \\ U'_2=U'^*_2=\frac 1 2 (U_a+U_1+U_2-\Delta U). $$

В остальных случаях, когда закрывается диод Di, i=4, 6, ..., m-1, $$ U'^*_{i-1}-U'^*_i=0, \\ U'^*_{i-1}+U'^*_i=U_{i-1}+U_i-\gamma \left(\frac T 2 -\frac{i-2}2 \theta_1 \right)=U_{i-1}+U_i-\Delta U+\gamma \frac{i-2}2 \theta_1, $$ откуда $$ U'^*_{i-1}=U'^*_i=\frac 1 2 (U_{i-1}+U_i-\Delta U)+\frac 1 2 \gamma \frac{i-2}2 \theta_1. $$ После того как диод Di закрывается, i=4, 6, ..., m-1, напряжение на конденсаторе с чётным номером Ci (в верхнем на схеме ряду конденсаторов) остаётся неизменным до конца полутакта, а напряжение на конденсаторе Ci-1 с нечётным номером линейно падает под действием тока нагрузки $$ U'_{i-1}=U'^*_{i-1}-\gamma \frac{i-2}2 \theta_1=\frac 1 2 (U_{i-1}+U_i-\Delta U)-\frac 1 2 \gamma \frac{i-2}2 \theta_1, \\ U'_i=U'^*_i=\frac 1 2 (U_{i-1}+U_i-\Delta U)+\frac 1 2 \gamma \frac{i-2}2 \theta_1. $$

Диод Dm, как и все остальные диоды с нечётными номерами, закрыт на протяжении всего первого полутакта, поэтому напряжение на конденсаторе Cm изменяется только за счёт разряда на нагрузку $$ U'_m=U_m-\Delta U. $$

Объединяя все полученные для первого полутакта уравнения, можем записать систему, позволяющую вычислить напряжения на каждом конденсаторе умножителя в конце первого полутакта (в начале второго полутакта) по известным напряжениям в начале полутакта (в начале такта): $$ \begin{cases} U'_1=\frac 1 2 (-U_a+U_1+U_2-\Delta U), \\ U'_2=\frac 1 2 (U_a+U_1+U_2-\Delta U), \\ U'_{i-1}=\frac 1 2 (U_{i-1}+U_i-\Delta U)-\frac 1 2 \gamma \frac{i-2}2 \theta_1, \\ U'_i=\frac 1 2 (U_{i-1}+U_i-\Delta U)+\frac 1 2 \gamma \frac{i-2}2 \theta_1, \\ i=4, 6, \ldots, m-1, \\ U'_m=U_m-\Delta U. \end{cases} \tag{2} $$ Здесь все индексы i-1 - нечётные, а индексы i - чётные.

Во время второго полутакта длительностью T/2, когда напряжение источника изменяется от -Ua до +Ua, в процессе его активной фазы, работают диоды Dj с нечётными номерами, j=1, 3, ..., m. Диод Dj закрывается через промежуток времени от начала полутакта, равный $$ \tau''_j=\frac T 2-\frac{j-1}2 \theta_1, $$ при этом, до конца полутакта (с учётом того, что длительность полутакта T/2) остаётся время, равное $$ \chi''_j=\frac{j-1}2 \theta_1. $$

Составляем уравнения на момент перехода каждого из диодов Dj, j=1, 3, ..., m в закрытое состояние, обозначая с помощью двух штрихов напряжения на конденсаторах в конце второго полутакта, который также является и концом полного такта, и одновременно началом следующего такта. Для диода D1 имеем $$ U''_1=U''^*_1=U_a. $$ Для остальных j=3, 5, ..., m, уравнения имеют вид $$ U''^*_{j-1}-U''^*_j=0, \\ U''^*_{j-1}+U''^*_j=U'_{j-1}+U'_j-\gamma \left( \frac T 2-\frac{j-1}2 \theta_1 \right)=U'_{j-1}+U'_j-\Delta U+\gamma \frac{j-1}2 \theta_1, $$ откуда $$ U''^*_{j-1}=U''^*_j=\frac 1 2 (U'_{j-1}+U'_j-\Delta U)+\frac 1 2 \gamma \frac{j-1}2 \theta_1. $$ После того, как диод Dj закрывается, напряжение на конденсаторе Cj-1 с чётным номером остаётся неизменным до конца полутакта, а напряжение на конденсаторе Cj с нечётным номером падает в результате протекания тока нагрузки: $$ U''_{j-1}=U''^*_{j-1}=\frac 1 2 (U'_{j-1}+U'_j-\Delta U)+\frac 1 2 \gamma \frac{j-1}2 \theta_1, \\ U''_j=U''^*_j-\gamma \frac{j-1}2 \theta_1=\frac 1 2 (U'_{j-1}+U'_j-\Delta U)-\frac 1 2 \gamma \frac{j-1}2 \theta_1, \\ j=3, 5, \ldots, m. $$ Заметим, что из полученных равенств следует, что $$ U''_{j-1}=U''_j+\gamma \frac{j-1}2 \theta_1, \\ j=3, 5, \ldots, m, $$ а так как конец второго полутакта является началом следующего такта и в установившемся режиме U''k=Uk для всех k=1, 2, ..., m, поэтому будет выполняться и следующее равенство: $$ U_{j-1}=U_j+\gamma \frac{j-1}2 \theta_1, \\ j=3, 5, \ldots, m, $$ или $$ U_i=U_{i+1}+\gamma \frac i 2 \theta_1, \\ i=2, 4, \ldots, m-1. \tag{3} $$ Равенство (3) позволяет выразить напряжения на конденсаторах с чётными номерами в начале каждого такта через напряжения на конденсаторах с нечётными номерами. Это даст возможность в дальнейшем исключить из рассмотрения напряжения на конденсаторах с чётными номерами и тем самым упростить рассматриваемую систему уравнений.

Подставим в выражения для U''j значения величин U'k из (2). Для j=5, 7, ..., m-2 имеем $$ U''_j=\frac 1 2 (U'_{j-1}+U'_j-\Delta U)-\frac 1 2 \gamma \frac{j-1}2 \theta_1, \\ U'_{j-1}: j-1=i, i=j-1, U'_{j-1}=\frac 1 2 (U_{j-2}+U_{j-1}-\Delta U)+\frac 1 2 \gamma \frac{j-3}2 \theta_1, \\ U'_j: j=i-1, i=j+1, U'_j=\frac 1 2 (U_j+U_{j+1}-\Delta U)-\frac 1 2 \gamma \frac{j-1}2 \theta_1, \\ j=5, 7, \ldots, m-2. $$ В данных равенствах коэффициенты j - нечётные, i - чётные. Подставляем, выполняем преобразования: $$ U''_j=\frac 1 2 \left( \frac 1 2 (U_{j-2}+U_{j-1}-\Delta U)+\frac 1 2 \gamma \frac{j-3}2 \theta_1+ \frac 1 2 (U_j+U_{j+1}-\Delta U)-\frac 1 2 \gamma \frac{j-1}2 \theta_1- \Delta U \right)- \frac 1 2 \gamma \frac{j-1}2 \theta_1= \\ =\frac 1 4 U_{j-2}+\frac 1 4 U_{j-1}+\frac 1 4 U_j+\frac 1 4 U_{j+1}-\Delta U-\frac 1 4 \gamma \theta_1-\frac 1 2 \gamma \frac{j-1}2 \theta_1, \\ j=5, 7, \ldots, m-2. $$ Воспользуемся формулой (3), чтобы выразить напряжения с чётными индексами (j-1), (j+1) через напряжения с нечётными индексами j, (j+2): $$ U''_j=\frac 1 4 U_{j-2}+\frac 1 4 U_j+\frac 1 4 \gamma \frac{j-1}2 \theta_1+\frac 1 4 U_j+\frac 1 4 U_{j+2}+\frac 1 4 \gamma \frac{j+1}2 \theta_1-\Delta U-\frac 1 4 \gamma \theta_1-\frac 1 2 \gamma \frac{j-1}2 \theta_1=\\ =\frac 1 4 U_{j-2}+\frac 1 2 U_j+\frac 1 4 U_{j+2}-\Delta U, \\ j=5, 7, \ldots, m-2. $$

Осталось найти U''j для двух случаев, j=3, m.

$$ U''_3=\frac 1 2 (U'_2+U'_3-\Delta U)-\frac 1 2 \gamma \theta_1=\frac 1 2 \left( \frac 1 2 (U_a+U_1+U_2-\Delta U)+\frac 1 2 (U_3+U_4-\Delta U)-\frac 1 2 \gamma \theta_1-\Delta U \right)-\frac 1 2 \gamma \theta_1= \\ =\frac 1 4 U_a+\frac 1 4 U_1+\frac 1 4 U_2+\frac 1 4 U_3+\frac 1 4 U_4-\Delta U-\frac 1 4 \gamma \theta_1-\frac 1 2 \gamma \theta_1=\\ =\frac 1 4 U_a+\frac 1 4 U_1+\frac 1 4 U_3+\frac 1 4 \gamma \theta_1+\frac 1 4 U_3+\frac 1 4 U_5+\frac 1 4 \gamma 2\theta_1-\Delta U-\frac 1 4 \gamma \theta_1-\frac 1 2 \gamma \theta_1, $$ $$ U''_3=\frac 1 4 U_a+\frac 1 4 U_1+\frac 1 2 U_3+\frac 1 4 U_5-\Delta U. $$

Вычисляем U''m: $$ U''_m=\frac 1 2 (U'_{m-1}+U'_m-\Delta U)-\frac 1 2 \gamma \frac{m-1}2 \theta_1, $$ m-1 - чётное число, используем из системы (2) формулу $$ U'_i=\frac 1 2 (U_{i-1}+U_i-\Delta U)+\frac 1 2 \gamma \frac{i-2}2 \theta_1, $$ здесь i=m-1, $$ U'_{m-1}=\frac 1 2 (U_{m-2}+U_{m-1}-\Delta U)+\frac 1 2 \gamma \frac{m-3}2 \theta_1. $$ В соответствии с (2) $$ U'_m=U_m-\Delta U, $$ тогда $$ U''_m=\frac 1 2 \left( \frac 1 2 (U_{m-2}+U_{m-1}-\Delta U)+\frac 1 2 \gamma \frac{m-3}2 \theta_1+U_m-\Delta U-\Delta U \right)-\frac 1 2 \gamma \frac{m-1}2 \theta_1= \\ =\frac 1 4 U_{m-2}+\frac 1 4 U_{m-1}+\frac 1 2 U_m-\frac 5 4 \Delta U+\frac 1 4 \gamma \frac{m-3}2 \theta_1-\frac 1 2 \gamma \frac{m-1}2 \theta_1. $$ Выражаем Um-1 с чётным индексом через Um с нечётным в соответствии с (3) и подставляем в последнее уравнение: $$ U_{m-1}=U_m+\gamma \frac{m-1}2 \theta_1, \\ U''_m=\frac 1 4 U_{m-2}+\frac 3 4 U_m-\frac 5 4 \Delta U+\frac 1 4 \gamma \frac{m-1}2 \theta_1+\frac 1 4 \gamma \frac{m-3}2 \theta_1-\frac 1 2 \gamma \frac{m-1}2 \theta_1, $$ $$ U''_m=\frac 1 4 U_{m-2}+\frac 3 4 U_m-\frac 5 4 \Delta U-\frac 1 4 \gamma \theta_1. \tag{4} $$ В уравнении (4) проявляется наиболее существенное отличие умножителей с нечётным коэффициентом от умножителей с чётным, уравнения которых не содержали временных параметров. Здесь же одно уравнение содержит величину \(\theta_1\). Если \(\theta_1 \ll T/2,\) тогда тем более $$ \frac 1 4 \gamma \theta_1 \ll \frac 5 4 \Delta U, \\ U'_m \approx \frac 1 4 U_{m-2}+\frac 3 4 U_m-\frac 5 4 \Delta U. $$

Объединяя все составленные для второго такта уравнения, получаем следующую систему: $$ \begin{cases} U''_1=U_a, \\ U''_3=\frac 1 4 U_a+\frac 1 4 U_1+\frac 1 2 U_3+\frac 1 4 U_5-\Delta U, \\ U''_j=\frac 1 4 U_{j-2}+\frac 1 2 U_j+\frac 1 4 U_{j+2}-\Delta U, \\ j=5, 7, \ldots, m-2, \\ U''_m \approx \frac 1 4 U_{m-2}+\frac 3 4 U_m-\frac 5 4 \Delta U. \end{cases} \tag{5} $$ В установившемся режиме напряжение на конденсаторе в конце такта равно напряжению в начале такта, U''k=Uk, тогда из системы (5) получаем $$ \begin{cases} U_1=U_a, \\ -U_1+2U_3-U_5=U_a-4 \Delta U, \\ -U_{j-2}+2U_j-U_{j+2}=-4 \Delta U, \\ j=5, 7, \ldots, m-2, \\ -U_{m-2}+U_m \approx -5 \Delta U. \end{cases} \tag{6} $$

Система уравнений (6) имеет (m+1)/2 неизвестных и столько же уравнений, из них все, кроме трёх (двух первых и последнего), имеют регулярную структуру, позволяющую записать эти уравнения в общем виде: \(-U_{j-2}+2U_j-U_{j+2}=-4 \Delta U\). Нетрудно заметить, что второе уравнение системы имеет "почти" такую же форму, отличаясь лишь наличием дополнительного слагаемого Ua в правой части. Можно сделать это уравнение тоже регулярным и всю систему уравнений более "регулярной", если перейти к другим переменным - вместо самих напряжений рассматривать их отклонения от номинальных значений при работе умножителя без нагрузки. Номинальное напряжение для всех конденсаторов равно 2Ua, кроме первого, для которого оно равно Ua. Если подставим значения $$ U_1=U_a+\Delta U_1, \\ U_j=2U_a+\Delta U_j, \\ j=3, 5, ..., m $$ в (6), то получим следующую систему уравнений $$ \begin{cases} \Delta U_1=0, \\ -\Delta U_{j-2}+2\Delta U_j-\Delta U_{j+2}=-4 \Delta U, \\ j=3, 5, \ldots, m-2, \\ -\Delta U_{m-2}+\Delta U_m \approx -5 \Delta U. \end{cases} \tag{7} $$ Данная система имеет (m-3)/2 регулярных уравнений и два частных (первое и последнее).

Решение системы уравнений умножителя в установившемся режиме

Найдём сумму уравнений системы (7) и покажем, что при суммировании будут исключены все неизвестные, кроме ΔU3. Вначале найдём сумму регулярных уравнений. Сумма их левых частей равна $$ j=3, 5, ..., m-2, \\ \sum_j(-\Delta U_{j-2}+2\Delta U_j-\Delta U_{j+2})=-\sum_j \Delta U_{j-2}+2\sum_j \Delta U_j-\sum_j \Delta U_{j+2}= \\ =\left(\sum_j \Delta U_j-\sum_j \Delta U_{j-2}\right)+\left(\sum_j \Delta U_j-\sum_j \Delta U_{j+2}\right)= \\ =-\Delta U_1+\Delta U_{m-2}+\Delta U_3-\Delta U_m. $$ При суммировании правых частей уравнений, количество которых равно (m-3)/2, получаем значение $$ -4 \Delta U \frac{m-3}2=-2m \Delta U+6 \Delta U. $$ Итак, сумма регулярных уравнений есть уравнение $$ -\Delta U_1+\Delta U_3+\Delta U_{m-2}-\Delta U_m=-2m \Delta U+6 \Delta U. $$ Складываем уравнение с первым уравнением системы (7), получаем $$ \Delta U_3+\Delta U_{m-2}-\Delta U_m=-2m \Delta U+6\Delta U. $$ Полученное уравнение складываем с последним уравнением системы: $$ \Delta U_3=-2m\Delta U+\Delta U. $$ Итак, теперь мы можем вычислить ΔU1 и ΔU3 для любого умножителя с нечётным коэффициентом: $$ \Delta U_1=0, \\ \Delta U_3 \approx -2m\Delta U+\Delta U. $$ (в дальнейшем будем записывать знак точного равенства, но при этом имеем в виду используемое приближение). На основании уравнения \(-\Delta U_{j-2}+2\Delta U_j-\Delta U_{j+2}=-4 \Delta U\) из системы (7), зная первые две неизвестные, можем найти следующую, а затем следующую за ней и т.д. Действительно, $$ -\Delta U_{j-2}+2\Delta U_j-\Delta U_{j+2}=-4 \Delta U, \\ \Delta U_{j+2}=2\Delta U_j-\Delta U_{j-2}+4\Delta U, \\ j=3, 5, \ldots, m-2, $$ или, смещая индексацию на +2, имеем $$ \Delta U_{j+4}=2\Delta U_{j+2}-\Delta U_j+4\Delta U, \\ j=1, 3, \ldots, m-4, $$ или вводя новые обозначения для получения более компактной записи, $$ x_{n+2}=2x_{n+1}-x_n+4d, \tag{8} $$ где $$ d=\Delta U, \\ x_0=\Delta U_1, \\ x_1=\Delta U_3, \\ $$ и вообще $$ x_n=\Delta U_{2n+1}, \\ n=0, 1, \ldots, (m-1)/2, \\ (\Delta U_1, \Delta U_3, \ldots, \Delta U_m). $$

К рекуррентному соотношению такого же вида, что и (8) мы пришли при анализе умножителя с чётным коэффициентом. Было показано, что неизвестная может быть выражена как функция её индекса следующим образом: $$ x_n=2dn^2-2dn-x_0 n+x_0+x_1 n. $$ В нашем случае x0=0, поэтому $$ x_n=2dn^2-2dn+x_1 n. $$ Подставляем x1: $$ x_1=-2md+d, \\ x_n=\Delta U_{2n+1}=2dn^2-2dn+(-2md+d)n=2dn^2-2dn-2mnd+nd= \\ =2dn^2-nd-2mnd. $$ Отклонение выходного напряжения умножителя под нагрузкой от номинального mUa равно сумме отклонений напряжений на нечётных конденсаторах: $$ j=1, 3, \ldots, m, \\ \Delta U_{out}=\sum_j \Delta U_j=\sum_{k=0}^{(m-1)/2}(2dk^2-dk-2mdk)=2d\sum_{k=0}^{(m-1)/2}k^2-(d+2md)\sum_{k=0}^{(m-1)/2}k. $$ Первую сумму вычисляем по формуле суммы квадратов первых n членов арифметической прогрессии: $$ 1^2+2^2+\ldots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6, $$ в данном случае $$ \sum_{k=0}^{(m-1)/2}k^2=\sum_{k=1}^{(m-1)/2}k^2=\frac{\frac{m-1}2 \left( \frac{m-1}2+1 \right) \left(2 \frac{m-1}2+1 \right)}6= \\ =\frac{(m-1)(m+1)m}{24}=\frac{m^3-m}{24}. $$ Вторая сумма является суммой первых n членов арифметической прогрессии, может, например, быть вычислена как произведение количества слагаемых и полусуммы крайних слагаемых: $$ \sum_{k=0}^{(m-1)/2}k=\left( \frac{m-1}2+1 \right) \frac{0+\frac{m-1}2}2=\frac{(m+1)(m-1)}8= \\ =\frac{m^2-1}8. $$

Тогда $$ \Delta U_{out}=2d\frac{m^3-m}{24}-(d+2md)\frac{m^2-1}8=d \left( \frac{m^3}{12}-\frac m{12}-\frac{m^2}8+\frac 1 8-\frac{m^3}4+\frac m 4 \right)= \\ =d\left( -\frac{m^3}6-\frac{m^2}8+\frac m 6+\frac 1 8 \right) $$ или $$ \Delta U_{out}=\Delta U \left( -\frac{m^3}6-\frac{m^2}8+\frac m 6+\frac 1 8 \right), \\ U_{out}=mU_a+\Delta U \left( -\frac{m^3}6-\frac{m^2}8+\frac m 6+\frac 1 8 \right). \tag{9} $$ Данное выражение отличается от полученного в случае умножителя с чётным коэффициентом, для которого \(U_{out}=mU_a+\Delta U (-m^3/6-m^2/8-m/12),\) однако расхождение невелико и относительная ошибка быстро убывает с увеличением m. Даже наибольшее расхождение, наблюдаемое при m=3 оказывается незначительным, так что во всех случаях можно пользоваться формулой, полученной для умножителя с чётным коэффициентом.

author: hamper; date: 2017-01-29
  @Mail.ru