Переходный процесс в умножителе напряжения при включении
[Home]

Переходный процесс в умножителе напряжения при включении

В документе "Умножитель напряжения" рассматривались процессы в умножителях на качественном уровне, теперь перейдём к количественному анализу.

Будем использовать методы анализа импульсных схем, этот подход значительно упрощает вычисления, в то же время мы получаем точный результат, хотя и не в виде непрерывной функции, а в виде дискретных значений в отдельные моменты времени. Но этого оказывается вполне достаточно для решения самых разнообразных задач. Кроме того, имея информацию о состоянии системы в определённые моменты времени, можно рассчитать состояние в промежуточных точках, и сделать это проще, чем искать полное решение на непрерывном отрезке времени.

Оглавление
Переходный процесс в удвоителе напряжения
Уравнения переходного процесса в умножителе (чётный коэффициент)
Переходный процесс в умножителе напряжения на 4
Переходный процесс в произвольном умножителе (чётный коэффициент)
Переходный процесс в умножителе на 3
Переходный процесс в произвольном умножителе (нечётный коэффициент)

Ссылки на внешние документы
Умножитель напряжения [Основной документ]
   Умножитель напряжения под нагрузкой
   Умножитель напряжения под нагрузкой. Детализированный анализ
   Умножитель напряжения под нагрузкой. Умножители с нечётным коэффициентом



Переходный процесс в удвоителе напряжения

Вначале будем рассматривать умножители с чётным коэффициентом. Во-первых, в эту группу входит самый простой умножитель - удвоитель напряжения; во-вторых, исследование умножителей с чётным коэффициентом оказывается несколько проще, чем с нечётным; в-третьих, полученные результаты с достаточной степенью точности оказываются применимы в общем случае.

Итак, начнём с простейшего умножителя - удвоителя напряжения. Здесь и далее элементы цепи будем считать идеальными. В частности, считаем, что отсутствуют токи утечки в конденсаторах, отсутствуют обратные токи диодов, а прямое падение напряжения на открытом диоде считаем равным 0. Кроме того, будем рассматривать случай, когда ток нагрузки равен нулю.

Удвоитель напряжения Рис. 1

Обозначим через u мгновенное напряжение источника, питающего умножитель, через Ua - амплитуду источника. Будем считать, что напряжение источника изменяется по закону $$ u=U_a\sin(\omega t+\pi)=-U_a\sin(\omega t), $$ т.е. момент включения приходится на начало отрицательной полуволны источника. Такой выбор начальной фазы немного упростит вычисления (иначе начальную точку придётся учитывать отдельно, можете проверить сами). Через U1, U2 обозначим напряжения на конденсаторах C1 и C2; в начальный момент эти напряжения считаем равными 0.

Во время отрицательной полуволны напряжения, диод D1 открывается и конденсатор C1 заряжается от источника напряжения. При открытом D1 выполняется равенство $$ u+U_1=0. \tag{1} $$ В тот момент, когда напряжение источника достигает отрицательного амплитудного значения u(t)=-Ua, диод D1 закрывается. Обозначим напряжения на конденсаторах в этот момент времени как U'1, U'2 (в этом документе штрихом будем обозначать не производную, а значение величины в определённый момент). Уравнение (1) в данной точке t примет вид $$ -U_a+U'_1=0 \text{ или} \\ U'_1=U_a. $$ На всём протяжении рассматриваемого промежутка времени диод D2 закрыт, следовательно, напряжение на конденсаторе C2 неизменно: U'2=U2. Итак, получили два уравнения: $$ \begin{cases} U'_1=U_a, \\ U'_2=U_2. \tag{2} \end{cases} $$

После того, как u(t) проходит значение -Ua, оно начинает расти, изменяясь в направлении значения +Ua. В некоторый момент диод D2 откроется. Это приведёт к перераспределению зарядов между конденсаторами C1, C2, а суммарное напряжение конденсаторов будет определяться напряжением источника u. Диод D2 остаётся открытым до тех пор, пока растёт напряжение u, т.е. пока не будет достигнуто положительное амплитудное значение u(t)=+Ua, в момент достижения которого выполняется условие (напряжения на конденсаторах в этот момент обозначим с помощью двух штрихов): $$ U_a+U''_1-U_2''=0 \text{ или} \\ U''_1-U_2''=-U_a. $$ После прохождения амплитудного значения напряжения источника u, диод D2 закрывается. Теперь оба диода схемы закрыты, а напряжения на конденсаторах будут оставаться неизменными, пока в очередной раз не откроется диод D1, после чего процессы повторятся.

Запишем уравнение, описывающее обмен зарядами между C1 и C2 при открытом диоде D2. В рассматриваемый промежуток времени диод D1 заперт и ток через него равен 0, тогда по первому правилу Кирхгофа, в соответствии с выбранными положительными направлениями токов, i1+i2=0, где i1, i2 - мгновенные значения токов через конденсаторы C1 и C2. Значит и интеграл от этой суммы по рассматриваемому отрезку времени равен 0: $$ \int_{\tau}(i_1+i_2)dt=0, \\ \Delta q_1+\Delta q_2=0, \\ C_1(U''_1-U'_1)+C_2(U''_2-U'_2)=0. $$ Если умножитель напряжения однородный (если все конденсаторы имеют одинаковую ёмкость), то наша жизнь заметно упрощается. В том смысле, что мы можем записать $$ (U''_1-U'_1)+(U''_2-U'_2)=0, \\ U''_1+U''_2=U'_1+U'_2. $$ В дальнейшем подобные соотношения, описывающие передачу заряда между конденсаторами, будем записывать сразу, без вывода.

Итак, получили линейную систему из двух уравнений с двумя неизвестными $$ \begin{cases} U''_1-U_2''=-U_a, \\ U''_1+U''_2=U'_1+U'_2. \end{cases} $$ С учётом (2), исключаем величины с одним штрихом. $$ \begin{cases} U''_1-U_2''=-U_a, \\ U''_1+U''_2=U_a+U_2, \end{cases} $$ решаем систему уравнений: $$ \begin{cases} U''_1=\frac 1 2 U_2, \\ U''_2=U_a+\frac 1 2 U_2. \end{cases} $$

По напряжению U2 на конденсаторе C2 в начале периода, мы вычислили напряжения на элементах схемы U''1, U''2 в конце периода, т.е. в начале следующего периода колебаний источника переменного напряжения. Эти рекуррентные соотношения позволяют нам определять напряжения на элементах схемы с шагом в один период. Или можно сказать, что уравнения дают возможность определять состояние удвоителя в начале следующего такта его работы, если под тактом понимать процессы, протекающие в данном устройстве на протяжении одного периода T колебаний источника питающего напряжения u.

При этом мы вычислим максимальное за период напряжение на чётном конденсаторе (а значит и выходное напряжение), так как в рассматриваемый конечный момент, во время прохождения положительной полуволны напряжения источника, происходит подзаряд конденсатора C2.

Перейдём к другим обозначениям, обозначим напряжения на конденсаторах в начале периода с номером n как U1n, U2n, тогда полученные нами рекуррентные соотношения можно записать в виде $$ U1_{n+1}=\frac 1 2 U2_n, \\ U2_{n+1}=U_a+\frac 1 2 U2_n, \\ U1_0=0, U2_0=0. $$

Например, если примем условно Ua=1, получаем следующий ряд значений

# периода 0 1 2 3 4 5 ...
U1n 0 0 0.5 0.75 0.875 0.9375 ...
U2n 0 1 1.5 1.75 1.875 1.9375 ...

Полученный результат с хорошей точностью соответствует результатам численного моделирования. На рис. 2а изображён график изменения выходного напряжения удвоителя в случае, когда питающее напряжение имеет амплитуду 100 В и частоту 50 Гц (период 20 мс).

Переходный процесс в удвоителе напряжения Рис. 2а

Такая ступенчатая форма выходного напряжения во время переходного процесса характерна только для удвоителя. В умножителях с коэффициентом больше 2, выходное напряжение имеет форму затухающего колебательного процесса (между максимумами располагаются минимумы). В качестве примера на рис. 2б приведён график изменения выходного напряжения умножителя на 4 при таких же параметрах питающего напряжения. Рассматриваемый промежуток времени увеличен, так как длительность переходного процесса здесь больше, чем в удвоителе.

Переходный процесс в умножителе напряжения на 4 Рис. 2б

В случае удвоителя напряжения достаточно просто перейти от рекуррентной формулы к явной функции от номера точки n. В первую очередь нас интересует напряжение на выходе умножителя, т.е. U2n. Мы имеем: $$ U2_0=0, \\ U2_1=U_a+\frac 1 2 U2_0=U_a, \\ U2_2=U_a+\frac 1 2 U2_1=U_a+\frac 1 2 U_a, \\ U2_3=U_a+\frac 1 2 U2_2=U_a+\frac 1 2 \left(U_a+\frac 1 2 U_a\right)=U_a+\frac 1 2 U_a+\frac 1 4 U_a,\\ U2_4=U_a+\frac 1 2 U2_3=U_a+\frac 1 2 U_a+\frac 1 4 U_a+\frac 1 8 U_a, \\ \ldots $$ Легко заметить, что в общем случае (при желании можно доказать справедливость выражения методом математической индукции) $$ U2_n=U_a \sum_{i=0}^{n-1} \left(\frac 1 2\right)^i. $$ Используя формулу для вычисления суммы первых n членов геометрической прогрессии, получаем: $$ U2_n=2 U_a \left(1-\left(\frac 1 2\right)^n\right). \tag{3} $$ Из (3) хорошо видно, что, как и положено удвоителю напряжения, в установившемся режиме он даёт на выходе напряжение вдвое больше амплитуды входного напряжения, при $$ n \rightarrow \infty, \\ (1/2)^n \rightarrow 0, \\ U2_n \rightarrow 2 U_a. $$

Закон, по которому изменяется напряжение на выходе умножителя, не зависит от абсолютной величины ёмкости конденсаторов (если умножитель с достаточной точностью соответствует нашей идеальной модели, что обычно выполняется на практике).

Если ёмкость конденсаторов неодинакова, то длительность переходного процесса будет зависеть от соотношения емкостей конденсаторов. Увеличивая ёмкость C1 по сравнению с ёмкостью конденсатора C2, можем уменьшить длительность переходного процесса.

Формулу (3) можно записать в экспоненциальной форме следующим образом: $$ U2_n=2 U_a \left(1-e^{-n \ln 2}\right), $$ а если учесть, что рассматриваемый момент времени t и номер периода n связаны соотношением \(t=nT=n/F\) или \(n=t/T=tF\), где T - период колебаний, F - частота источника, питающего умножитель, то можем записать $$ U2_n=2 U_a \left(1-e^{-tF\ln 2}\right)=2 U_a \left(1-e^{-t/\tau}\right), $$ здесь \(\tau=1/(F\ln 2)=T/\ln 2 \approx 1.44\cdot T\) - постоянная времени удвоителя, время за которое после включения, напряжение на его выходе достигает значения 1-e-1 от установившейся величины или примерно 63%. Полученная непрерывная функция гарантирует точное значение только для точек t=n*T, n - целое, \(n \ge 0\), поскольку является просто вариантом записи первоначальной дискретной функции, которую мы нашли для соответствующих точек методами анализа импульсных схем.

Для перехода в заданное состояние, умножителю напряжения требуется определённое фиксированное количество тактов. Поэтому, увеличивая частоту питающего тока, можем уменьшить в соответствующее количество раз длительность переходного процесса (в единицах времени).

Уравнения переходного процесса в умножителе (чётный коэффициент)

Продолжим рассмотрение умножителей. Теперь будем исследовать устройства с произвольным чётным коэффициентом умножения напряжения. Прежде чем перейдём к их анализу, разберёмся, каким образом можно составить систему уравнений, описывающую процессы в умножителе с произвольным количеством звеньев.

Как и в предыдущем случае с удвоителем напряжения, будем рассматривать схему в фиксированные моменты времени. За исходное выберем состояние, когда все диоды закрыты, и напряжения на конденсаторах сохраняются такими, какими они были в конце предыдущего цикла. Следующий рассматриваемый нами момент (для обозначения напряжений на конденсаторах в этот момент используем один штрих) - когда во время отрицательной полуволны напряжения источника завершается подзаряд конденсаторов с нечётными номерами (C1, C3, C5, ...) через диоды с нечётными номерами (D1, D3, D5, ...), после прохождения этого момента все диоды закрываются. Завершающий такт момент (для обозначения напряжений на конденсаторах в этот момент используем два штриха) - когда во время положительной полуволны напряжения источника завершается подзаряд конденсаторов с чётными номерами (C2, C4, C6, ...) через диоды с чётными номерами (D2, D4, D6, ...).

Рассматривая отрицательную и положительную полуволны питающего напряжения в таком порядке, в итоге мы определяем состояние системы в тот момент, когда напряжения на конденсаторах с чётными номерами наибольшее, а так как именно с них снимается выходное напряжение, то мы сможем вычислить пиковые значения выходного напряжения. Следует учесть, что в умножителях с коэффициентом умножения более 2, между точками максимума будут расположены точки минимума, т.е. рост выходного напряжения немонотонный (например, как изображено на рис. 2б для умножителя на 4).

В данном случае напряжения на конденсаторах с чётными номерами в точках минимума - это те величины, которые мы обозначили одним штрихом.

Схема умножителя напряжения на m (общий случай) Рис. 3

Важный момент состоит в том, что диоды открываются и закрываются не одновременно (как на отрицательной полуволне, так и на положительной). Допустим, в некоторый момент все диоды закрыты, и напряжение источника изменяется по направлению к отрицательному амплитудному значению -Ua. Чётные диоды смещены в обратном направлении и не откроются в рассматриваемый промежуток времени. Каждый из диодов с нечётным номером откроется в определённый момент времени, это произойдёт, когда обратное напряжение на нём уменьшиться до 0. Рассматривая контуры, содержащие диоды с нечётными номерами, получим условия, при которых все диоды пока ещё закрыты (смещены в обратном направлении): $$ u(t)+U1 \ge 0, \\ u(t)+U1+U3-U2 \ge 0, \\ u(t)+U1+U3+U5-U4-U2 \ge 0, \\ \ldots $$ В момент, когда неравенство обращается в равенство, создаются условия, при которых диод может открыться. $$ u(t_1)+U1=0, \\ u(t_2)+U1+U3-U2=0, \\ u(t_3)+U1+U3+U5-U4-U2=0, \\ \ldots $$ слагаемые можно перегруппировать иначе $$ u(t_1)+U1=0, \\ \tag{4} u(t_2)+U1-(U2-U3)=0, \\ u(t_3)+U1-(U2-U3)-(U4-U5)=0, \\ \ldots $$

Принцип действия умножителя основан на том, что конденсаторы обмениваются зарядами, передавая свой заряд по цепочке от одного звена умножителя к следующему, так что в любой момент напряжение на конденсаторе k больше (по крайней мере, не меньше - в начальный момент они равны между собой и равны 0), чем на k+1, -(Uk-Uk+1)<=0. С учётом этого понятно, что при уменьшении u(t), первым значения 0 достигнет последнее выражение из списка. Действительно, первоначально каждое из выражений положительно и равно предыдущему выражению плюс отрицательное слагаемое, т.е. последнее выражение будет наименьшим, а в целом значения убывают от строчки к строчке. А значит с уменьшением u(t) в процессе его движения к значению -Ua, первым обратится в 0 последнее выражение, затем предпоследнее, и т.д. В последнюю очередь обратится в 0 первое выражение в списке (4).

Это означает, что первым открывается диод данного направления в самом последнем звене умножителя, диод с самым большим номером в данном направлении, затем открывается предшествующий ему диод в данном направлении и т.д., до диода первого звена, открывающегося в последнюю очередь.

Напряжение на открытом идеальном диоде считаем равным 0, поэтому после того, как диод открылся, соответствующее равенство выполняется до тех пор, пока диод не закроется. Закроется он в тот момент, когда ток через него станет равным нулю, а это произойдёт в тот момент, когда откроется предшествующий диод (при этом завершается обмен зарядами между конденсаторами через диод и ток через диод становится равным 0), т.е. выполнится равенство из списка (4), предшествующее данному. Этот процесс, в ходе которого диоды поочерёдно, последовательно открываются и закрываются, начиная с конца схемы к началу, обеспечивает обмен зарядами между соответствующими конденсаторами. Как уже было сказано, последним откроется, а соответственно и закроется диод D1. Закроется он в момент, когда напряжение источника достигнет минимального значения -Ua.

После того, как закрывается диод Dk, контур, содержащий конденсаторы Ck-1, Ck оказывается разомкнутым и в дальнейшем, в данном полутакте работы умножителя, напряжения на этих конденсаторах не изменяются. Иначе говоря, напряжения на конденсаторах Ck-1, Ck в момент, когда уже все диоды закрыты и которые мы обозначили одним штрихом, U'k-1, U'k, равны напряжениям на этих же конденсаторах в момент, когда закрылся диод, через который они обменивались своими зарядами, Dk. Случай k=1 рассматриваем отдельно, диод D1 обеспечивает заряд C1 до напряжения Ua.

Но в момент, когда закрывается Dk, открывается диод Dk-2, значит, выполняется условие $$ u(t)+U1-(U2-U3)-(U4-U5)-...-(U_{k-3}-U_{k-2})=0. $$ В этот момент ещё выполняется условие равенства нулю напряжения на диоде Dk: $$ u(t)+U1-(U2-U3)-(U4-U5)-...-(U_{k-3}-U_{k-2})-(U_{k-1}-U_k)=0. $$ Вычитая из второго равенства первое, получаем, что в данный момент $$ U_{k-1}(t)-U_k(t)=0. $$ Или с учётом того, что эти величины равны тем, что мы обозначаем с одним штрихом, получим: $$ U'_{k-1}-U'_k=0. $$

Аналогично можно рассмотреть и остальные условия из списка (4). Так в момент, когда D5 закрывается, а D3 открывается, выполняются равенства $$ \begin{cases} u(t)+U1-(U2-U3)=0, \\ u(t)+U1-(U2-U3)-(U4'-U5')=0, \end{cases} $$ вычитая из второго первое, получаем: $$ U4'-U5'=0. $$

В момент, когда D3 закрывается, а D1 открывается, выполняются равенства $$ \begin{cases} u(t)+U1=0, \\ u(t)+U1-(U2'-U3')=0, \end{cases} $$ вычитая из второго первое, получаем \(U2'-U3'=0.\)

Наконец, D1 закрывается, когда u(t) проходит своё отрицательное пиковое значение, при этом C1 заряжается до амплитудного напряжения источника: $$ U1'=U_a. $$

Рассматривая всю последовательность процессов перехода диодов из закрытого состояния в открытое и обратно в данном полутакте, с учётом (4), получим систему уравнений: $$ \begin{cases} \tag{5} U1'=U_a, \\ U2'-U3'=0, \\ U4'-U5'=0, \\ \ldots,\\ U'_{m-2}-U'_{m-1}=0, \\ U'_m=U_m. \end{cases} $$ Последнее уравнение отражает тот факт, что конденсатор Cm в данном полутакте сохраняет своё напряжение неизменным за счёт закрытого диода Dm.

В этой системе имеем m неизвестных и m/2+1 независимых уравнений. Всего для решения системы требуется m уравнений, недостающие уравнения получим, рассматривая обмен зарядами между конденсаторами. Эти уравнения являются следствием первого правила Кирхгофа (смотрите предыдущий пункт, "Переходный процесс в удвоителе напряжения при включении", где идёт речь об обосновании этих уравнений).

Мы выяснили, что в каждый момент времени открыт только один диод умножителя, он создаёт замкнутый контур, состоящий из этого открытого диода, источника питания и нескольких конденсаторов, которые оказываются включены последовательно (так как все остальные диоды закрыты и ток через них равен 0). Первым открывается диод, наиболее удалённый от входа умножителя, Dm-1. Он замыкает контур, в который входит несколько конденсаторов, но нам важно, что он позволяет осуществить обмен зарядами между Cm-1 и Cm-2. Важно потому, что после этого обмена, на данном полутакте, напряжения на этих конденсаторах уже не изменяются, и мы получаем уравнение для искомых величин U'm-1 и U'm-2. При условии, что ёмкость конденсаторов одинакова, уравнение будет иметь вид: $$ (U'_{m-2}-U_{m-2})+(U'_{m-1}-U_{m-1})=0 $$ или $$ U'_{m-2}+U'_{m-1}=U_{m-2}+U_{m-1}. $$

Затем открывается диод Dm-3. Обмен зарядами между Cm-3, Cm-4, который начался при открытом Dm-1, продолжается через Dm-3 и завершается в момент, когда диод закрывается. Сравнивая заряды на этих двух конденсаторах в начале такта и в момент, когда закрылся диод Dm-3, можно записать уравнение $$ U2'+U3'=U2+U3. $$

Можем составить m/2-1 таких уравнений. Вместе с предыдущими уравнениями (5), получаем всего m уравнений, из которых можем найти все неизвестные. $$ \begin{cases} \tag{6} U1'=U_a, \\ U2'-U3'=0, \\ U4'-U5'=0, \\ \ldots,\\ U'_{m-2}-U'_{m-1}=0, \\ U'_m=U_m, \\ \\ U2'+U3'=U2+U3, \\ U4'+U5'=U4+U5, \\ \ldots, \\ U'_{m-2}+U'_{m-1}=U_{m-2}+U_{m-1}. \end{cases} $$ Решается система крайне просто (например, путём сложения уравнения из первой части, начиная со 2-го, с уравнением из второй части системы): $$ \begin{cases} \tag{7} U1'=U_a, \\ U2'=U3'=\frac 1 2 (U2+U3), \\ U4'=U5'=\frac 1 2 (U4+U5), \\ \ldots,\\ U'_{m-2}-U'_{m-1}=\frac 1 2 (U_{m-2}-U_{m-1}), \\ U'_m=U_m. \end{cases} $$

Процессы в умножителе после прохождения отрицательного пикового значения питающего напряжения, при движении к +Ua (во время положительной полуволны питающего напряжения) во многом аналогичны тем, что мы описали для отрицательной полуволны.

Во время второго полутакта, диоды с нечётными номерами всё время заперты, работают диоды с чётными номерами. Открываются они также поочерёдно, начиная с самого дальнего от источника, диода с наибольшим номером, который находится в последнем звене умножителя, Dm. Также как для первого полутакта, мы можем составить систему уравнений, состоящую из уравнений двух видов, одни из которых описывают процессы перехода диодов в открытое и закрытое состояние, другие - передачу зарядов между конденсаторами. Диод D2 закрывается в момент прохождения напряжением источника положительного амплитудного значения. Запишем сразу, без промежуточных выводов: $$ \begin{cases} U1''-U2''=-U_a, \\ U3''-U4''=0, \\ U5''-U6''=0, \\ \ldots, \\ U''_{m-1}-U''_m=0, \\ \\ U1''+U2''=U1'+U2', \\ U3''+U4''=U3'+U4', \\ \ldots, \\ U''_{m-1}+U''_m=U'_{m-1}+U'_m. \end{cases} $$ Решаем систему: $$ \begin{cases} U1''=\frac 1 2 (-U_a+U1'+U2'), \\ U2''=\frac 1 2 (U_a+U1'+U2'), \\ \\ U3''=U4''=\frac 1 2 (U3'+U4'), \\ U5''=U6''=\frac 1 2 (U5'+U6'), \\ \ldots, \\ U''_{m-1}=U''_m=\frac 1 2 (U'_{m-1}+U'_m). \end{cases} $$ Подставляем ранее найденные значения для величин с одним штрихом. $$ \begin{cases} \tag{8} U1''=\frac 1 4 U2+\frac 1 4 U3, \\ U2''=U_a+\frac 1 4 U2+\frac 1 4 U3, \\ \\ U3''=U4''=\frac 1 4 U2+\frac 1 4 U3+\frac 1 4 U4+\frac 1 4 U5, \\ U5''=U6''=\frac 1 4 U4+\frac 1 4 U5+\frac 1 4 U6+\frac 1 4 U7, \\ \ldots, \\ U''_{m-3}=U''_{m-2}=\frac 1 4 U_{m-4}+\frac 1 4 U_{m-3}+\frac 1 4 U_{m-2}+\frac 1 4 U_{m-1}, \\ U''_{m-1}=U''_m=\frac 1 4 U_{m-2}+\frac 1 4 U_{m-1}+\frac 1 2 U_m. \end{cases} $$

Мы обозначили через U1, U2, ... напряжения на конденсаторах в начале такта работы умножителя, а через U1'', U2'', ... - в конце такта, т.е. в начале следующего такта. Из решения (8) мы видим, что U3''=U4'', U5''=U6'', ..., т.е. напряжения на конденсаторах C3 и C4, C5 и C6, ... в начале каждого последующего такта равны, кроме того, равны они и в начальный момент (в начальный момент все конденсаторы разряжены), это значит, что U3=U4, U5=U6, ..., Um-1=Um. Пользуясь этим, можем исключить из решения (8) напряжения на всех конденсаторах с нечётными номерами и далее рассматривать только напряжения на конденсаторах с чётными номерами, которые нас интересуют в первую очередь, поскольку их сумма есть выходное напряжение умножителя. $$ \begin{cases} U2''=U_a+\frac 1 4 U2+\frac 1 4 U4, \\ \\ U4''=\frac 1 4 U2+\frac 1 2 U4+\frac 1 4 U6, \\ U6''=\frac 1 4 U4+\frac 1 2 U6+\frac 1 4 U8, \\ \ldots, \\ U''_{m-2}=\frac 1 4 U_{m-4}+\frac 1 2 U_{m-2}+\frac 1 4 U_m, \\ U''_m=\frac 1 4 U_{m-2}+\frac 3 4 U_m. \end{cases} $$

Итак, получили рекуррентные соотношения, позволяющие анализировать процессы в умножителе с любым коэффициентом умножения (кроме простейшего случая - удвоителя, который мы рассмотрели отдельно) и вычислить напряжение на выходе умножителя на любом такте его работы. Полученные соотношения перепишем в следующей форме: $$ \begin{cases} \tag{9} U2_{n+1}=U_a+\frac 1 4 U2_n+\frac 1 4 U4_n, \\ \\ U4_{n+1}=\frac 1 4 U2_n+\frac 1 2 U4_n+\frac 1 4 U6_n, \\ U6_{n+1}=\frac 1 4 U4_n+\frac 1 2 U6_n+\frac 1 4 U8_n, \\ \ldots, \\ U_{m-2, n+1}=\frac 1 4 U_{m-4, n}+\frac 1 2 U_{m-2, n}+\frac 1 4 U_{m, n}, \\ U_{m, n+1}=\frac 1 4 U_{m-2, n}+\frac 3 4 U_{m, n}. \end{cases} $$ где n - номер предыдущего такта, т.е. номер периода, на начало которого берутся значения исходных величин для расчёта значений в такте n+1.

Получить из рекуррентных соотношений (9) явные функции от n для общего случая умножителя на m намного сложнее, чем это было с удвоителем напряжения. Убедимся в этом на примере умножителя на 4.

Переходный процесс в умножителе напряжения на 4

Для умножителя напряжения на 4, у которого, очевидно, m=4, соотношения (9), описывающие процессы в умножителе, примут вид: $$ \begin{cases} U2_{n+1}=U_a+\frac 1 4 U2_n+\frac 1 4 U4_n, \\ U4_{n+1}=\frac 1 4 U2_n+\frac 3 4 U4_n. \end{cases} $$ Рассчитаем состояние системы в нескольких первых точках.

Таблица 1.
n 0 1 2 3 4 5 6 ...
U2 0 1 1.25 1.375 1.46875 1.546875 1.6132... ...
U4 0 0 0.25 0.5 0.71875 0.90625 1.0664... ...
U2+U4 0 1 1.5 1.875 2.1875 2.453125 2.6796... ...

Несмотря на весьма простой вид уравнений, найти явное решение и выразить U2, U4 как функции от n далеко не так просто, как это было в случае m=2.

Воспользуемся Z-преобразованием, при этом учитываем, что U20=0, U40=0. Для того чтобы записи были менее громоздкими, введём более простые обозначения: Ua будем далее обозначать как "a", U2 как "x", U4 как "y"; Z-преобразования x и y обозначим через X, Y. $$ \begin{cases} x_{n+1}=a+\frac 1 4 x_n+\frac 1 4 y_n, \\ y_{n+1}=\frac 1 4 x_n+\frac 3 4 y_n; \end{cases} \\ \begin{cases} zX=a \frac z{z-1}+\frac 1 4 X+\frac 1 4 Y, \\ zY=\frac 1 4 X+\frac 3 4 Y; \end{cases} \\ \begin{cases} (4z-1)X-Y=4a \frac z{z-1}, \\ -X+(4z-3)Y=0; \end{cases} $$ Умножая первое уравнение на (4z-3) и складывая со вторым, исключаем Y и находим X, а умножая второе на (4z-1) и складывая с первым, исключаем X и находим Y: $$ (4z-1)(4z-3)X-X=4a\frac{z(4z-3)}{z-1}, \\ (16z^2-16z+2)X=4a\frac{z(4z-3)}{z-1}, \\ (8z^2-8z+1)X=2a\frac{z(4z-3)}{z-1}, \\ X=2a\frac{z(4z-3)}{(z-1)(8z^2-8z+1)}. $$ Аналогично получаем $$ Y=2a\frac z{(z-1)(8z^2-8z+1)}, $$ а Z-преобразование выходного напряжения умножителя (x+y) равно X+Y: $$ X+Y=4a\frac{2z^2-z}{(z-1)(8z^2-8z+1)}. \tag{10} $$ При желании можно искать обратное Z-преобразование по отдельности для X и Y, но нас в большей степени интересует не напряжение на каждом из конденсаторов по отдельности, а выходное напряжение устройства в целом как функция от n.

Чтобы выполнить обратное Z-преобразование, представим (10) в виде суммы выражений, для каждого из которых сможем найти обратное Z-преобразование по таблице. Прежде всего, разложим знаменатель на множители. $$ (z-1)(8z^2-8z+1)=8(z-1)(z-z_1)(z-z_2), $$ где z1, z2 - решения квадратного уравнения $$ 8z^2-8z+1=0, \\ \cal D=8^2-4*8=32 \gt 0, \\ z_{1, 2}=\frac{8 \mp \sqrt{32}}{16}=\frac{2 \mp \sqrt 2} 4. $$ Представим X+Y как сумму дробей следующего вида (A, B, D - некоторые коэффициенты, которые нам необходимо найти): $$ X+Y=\frac a 2 \frac{2z^2-z}{(z-1)(z-z_1)(z-z_2)}= \frac a 2 \left( \frac A{z-1} +\frac B{z-z_1}+\frac D{z-z_2} \right) \tag{11} $$ Складываем дроби с неизвестными коэффициентами: $$ \frac A{z-1} +\frac B{z-z_1}+\frac D{z-z_2}= \frac {A(z-z_1)(z-z_2)+B(z-1)(z-z_2)+D(z-1)(z-z_1)} {(z-1)(z-z_1)(z-z_2)}= \\ =\frac {A(z^2-zz_1-zz_2+z_1z_2)+B(z^2-z-zz_2+z_2)+D(z^2-z-zz_1+z_1)} {(z-1)(z-z_1)(z-z_2)}= \\ =\frac {z^2(A+B+D)+z(-Az_1-Az_2-B-Bz_2-D-Dz_1)+(Az_1z_2+Bz_2+Dz_1)} {(z-1)(z-z_1)(z-z_2)}. $$ Сравнивая с (11), получаем систему уравнений для неизвестных коэффициентов (приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях z, так как выражения должны быть равны при любом z). $$ \begin{cases} \tag{12} A+B+D=2, \\ -Az_1-Az_2-B-Bz_2-D-Dz_1=-1, \\ Az_1z_2+Bz_2+Dz_1=0. \end{cases} $$ Можно воспользоваться тем, что система имеет особую структуру, что позволяет легко решить её, не прибегая к общим методам решения систем линейных уравнений. Так, можно заметить, что если сложить все три уравнения системы, то получим уравнение с одной неизвестной A: $$ A-Az_1-Az_2+Az_1z_2=1, \\ A(1-(z_1+z_2)+z_1z_2)=1. $$ Не забываем, что $$ z_1=\frac{2 - \sqrt 2} 4, \\ z_2=\frac{2 + \sqrt 2} 4. $$ Тогда $$ z_1+z_2=\frac{2 - \sqrt 2} 4+\frac{2 + \sqrt 2} 4=1, \\ z_1z_2=\frac {(2-\sqrt 2)(2+\sqrt 2)}{4\cdot 4}=\frac {4-2}{16}=\frac 1 8, \\ \frac 1 8 A=1, \\ A=8. $$ (Вообще-то можно было воспользоваться теоремой Виета для того, чтобы найти сумму и произведение корней уравнения). Подставляем найденное значение A в 1-е и 3-е уравнения системы (12): $$ \begin{cases} 8+B+D=2, \\ 1+Bz_2+Dz_1=0, \end{cases} \\ \begin{cases} B+D=-6, \\ Bz_2+Dz_1=-1, \end{cases} $$ Из первого уравнения полученной системы имеем \(D=-6-B,\) подставляем это выражение для D во второе уравнение системы, получаем $$ Bz_2+(-6-B)z_1=-1, \\ B(z_2-z_1)-6z_1=-1, \\ B=\frac{-1+6z_1}{z_2-z_1}=\frac{-1+6\frac{2-\sqrt 2}4}{\frac{2+\sqrt 2}4-\frac{2-\sqrt 2}4}= \\ =\frac{-1+3-\frac{3\sqrt 2}2}{2\sqrt 2/4}=\frac{2-\frac{3\sqrt 2}2}{\sqrt 2/2}=\frac{2-\frac{3\sqrt 2}2}{1/\sqrt 2}, \\ B=-3+2\sqrt 2, D=-6-B=-3-2\sqrt 2. $$ Итак, $$ \begin{cases} A=8, \\ B=-3+2\sqrt 2, \\ D=-3-2\sqrt 2, \end{cases} $$ $$ X+Y=\frac a 2 \left( \frac 8 {z-1}+ \frac{-3+2\sqrt 2}{z-\frac{2-\sqrt 2}4}+ \frac{-3-2\sqrt 2}{z-\frac{2+\sqrt 2}4} \right)= \\ =\frac a 2 z^{-1}\left( 8 \frac z {z-1}+ \frac{(-3+2\sqrt 2)z}{z-\frac{2-\sqrt 2}4}+ \frac{(-3-2\sqrt 2)z}{z-\frac{2+\sqrt 2}4} \right), $$ Для каждого из слагаемых можно найти обратное преобразование по таблице, так как все слагаемые имеют одинаковый общий вид \(z/(z-e^{\alpha})\) и являются образами функций \(e^{\alpha n}\), а наличие общего множителя \(z^{-1}\) приводит к сдвигу результата обратного преобразования в области n на -1. $$ x_n+y_n=4a-\frac a 2 \left(3-2\sqrt 2\right)\left(\frac{2-\sqrt 2}4\right)^{n-1}- \frac a 2 \left(3+2\sqrt 2\right)\left(\frac{2+\sqrt 2}4\right)^{n-1}. \tag{13} $$ или $$ x_n+y_n=4a\left( 1- \frac{3-2\sqrt 2}8 \left(\frac{2-\sqrt 2}4\right)^{n-1}- \frac{3+2\sqrt 2}8 \left(\frac{2+\sqrt 2}4\right)^{n-1} \right) $$ или $$ x_n+y_n=4a\left( 1- \frac{2-\sqrt 2}4 \left(\frac{2-\sqrt 2}4\right)^n- \frac{2+\sqrt 2}4 \left(\frac{2+\sqrt 2}4\right)^n \right), \tag{14} $$ где учтено то, что $$ \frac{3-2\sqrt 2}8 \left(\frac{2-\sqrt 2}4\right)^{n-1}= \frac{3-2\sqrt 2}8 \frac 4{2-\sqrt 2} \left(\frac{2-\sqrt 2}4\right)^n= \\ =\frac{(3-2\sqrt 2)(2+\sqrt 2)}{2(2-\sqrt 2)(2+\sqrt 2)} \left(\frac{2-\sqrt 2}4\right)^n= \frac{6-4\sqrt 2 +3\sqrt 2-4}4 \left(\frac{2-\sqrt 2}4\right)^n= \\ =\frac{2-\sqrt 2}4 \left(\frac{2-\sqrt 2}4\right)^n, $$ аналогично $$ \frac{3+2\sqrt 2}8 \left(\frac{2+\sqrt 2}4\right)^{n-1}=\frac{2+\sqrt 2}4 \left(\frac{2+\sqrt 2}4\right)^n. $$

Мы получили выходное напряжение умножителя на 4 как явную функцию от номера такта работы устройства в виде (14). Это точное решение для нашей модели, но получилось оно довольно громоздким и не слишком удобным для вычислений и анализа. Не очень радует даже то, при всём своём устрашающем виде, эта зависимость на каждом шаге n может быть представлена в форме \(4a(1-q), 0 \lt q \lt 1\), где q - рациональное число. Так, если положим a=1, получим последовательность

n 1 2 3 4 5 6 ...
(x+y)n 1 3/2 15/8 35/16 157/64 343/128 ...

Это полностью соответствует результатам в таблице 1, полученным непосредственно из рекуррентных соотношений (уравнений переходного процесса в идеальном умножителе).

Точное решение (14) можно записать в приближённом виде следующим образом: $$ x_n+y_n \approx 4a\left( 1- 0.1464466 \cdot 0.1464466^n- 0.85355 \cdot 0.85355^n \right). $$ При такой форме записи легче увидеть, что имеем 3 слагаемых, первое из них определяет установившееся значение, 4a=4Ua, два других являются показательными функциями, определяют течение переходного процесса, убывают со временем и в пределе обращаются в 0. Причём первое из этих двух слагаемых вносит меньший вклад в результат (имеет меньший по модулю коэффициент) и быстрее убывает, чем второе, так как у второго основание ближе к 1. Так что, для не слишком малых n, $$ x_n+y_n \approx 4a\left( 1- 0.85355 \cdot 0.85355^n \right). $$

Переходный процесс в произвольном умножителе (чётный коэффициент)

Анализировать переходный процесс в умножителе в аналитической форме представляется возможным только для простейшего случая - удвоителя напряжения. Для следующего по сложности умножителя - умножителя напряжения на 4, получаемые выражения оказываются слишком сложными. Для умножителей с большей кратностью, получаемый результат становится ещё более сложным и совершенно бесполезным для практического использования.

В такой ситуации оказывается проще и целесообразнее выполнить численный анализ конкретного умножителя - либо с помощью полученных для идеального устройства рекуррентных соотношений (9), либо, моделируя умножитель в любой программе для анализа цепей, что позволит дополнительно учесть неидеальность используемых элементов. Если всё же требуется получить переходную характеристику в аналитической форме, полученный результат можно будет приблизить какой-либо функцией.

В качестве примера приведём таблицу с результатами численного моделирования идеальных умножителей с разными коэффициентами умножения. В таблице помещены данные о количестве тактов, за которое напряжение на выходе разных умножителей достигает заданного уровня, определяемого в долях от установившегося предельного напряжения для данного устройства (например, уровню 90% для умножителя на m соответствует выходное напряжение 0.9*m*Ua). По таблице можно делать выводы о длительности переходного процесса в умножителях с различными коэффициентами умножения. Как и следовало ожидать, длительность переходного процесса резко увеличивается с ростом коэффициента умножения. При питании от источника переменного напряжения с частотой сети (50 Гц), для умножителей всего в 10 раз, длительность переходного процесса уже составляет несколько секунд.

Умножитель
на
m
Количество периодов до достижения заданного уровня выходного напряжения
50% (1-e-1)
*100% (63%)
80% 90% 95% 99%
2 1 2 3 4 5 7
4 4 6 10 14 18 29
6 8 12 21 31 41 64
8 13 21 37 55 73 114
10 20 33 57 85 113 178
20 79 129 227 340 452 713
30 178 289 511 764 1016 1603
40 316 513 908 1357 1807 2850
50 493 801 1419 2121 2823 4453
60 709 1154 2042 3054 4065 6413
70 965 1570 2780 4156 5533 8728
80 1260 2050 3630 5428 7226 11400
90 1594 2595 4595 6870 9145 14429
100 1968 3203 5672 8481 11290 17813

Зависимость длительности переходного процесса в умножителе от коэффициента умножения (по уровню 90%) Рис. 4

Зависимость длительности переходного процесса в умножителе от коэффициента умножения в логарифмических координатах Рис. 5

На рис. 4 приведён график зависимости от коэффициента умножения количества тактов, за которое в умножителе достигается уровень выходного напряжения 90%, а на рис. 5 изображены графики аналогичных зависимостей в логарифмических координатах для всех уровней, имеющихся в таблице. В логарифмических координатах графики оказались линейными (и параллельными), значит, зависимость продолжительности переходного процесса от коэффициента умножения имеет вид степенной функции с одним и тем же показателем: $$ n=bm^k, $$ где b, k - некоторые постоянные. Зависимость ln(n) от ln(m) тогда будет иметь вид $$ \ln n=\ln b+k\ln m. $$ По имеющимся табличным данным можем оценить значения коэффициентов b и k, например, применив для их определения метод наименьших квадратов. В системе Scilab это можно сделать так

// Задаём вектор коэффициентов умножения и вектор
// соответствующих значений длительности переходного процесса.
m=[2, 4, 6, 8, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100];
// (по уровню 90%).
n90=[4, 14, 31, 55, 85, 340, 764, 1357, 2121, 3054, 4156, 5428, 6870, 8481];

// Зависимость имеет вид n[i]=b*m[i]^k или 
// ln(n[i])=ln(b)+k*ln(m[i]), в данном случае ln(b), k -
// неизвестные нам значения; ln(n[i]), ln(m[i]) - табличные данные.
// Если обозначим x=ln(b), y=k, имеем избыточную систему уравнений:
// 1*x+ln(m[1])=ln(n[1]),
// 1*x+ln(m[2])=ln(n[2]),
// .....
// или A*[x; y]=B, тогда в Scilab A\B - вектор с искомыми x, y.
sz=size(m, 2);
A=ones(sz, 2);
A(:, 2)=log(m');

// Определяем коэффициенты для уровня 90%.
r90=A\log(n90');
b90=exp(r90(1)), k90=r90(2)

Как показывают вычисления, во всех случаях величина k очень близка к 2, т.е. имеет место квадратичная зависимость длительности достижения заданного уровня на выходе от коэффициента умножения: $$ n=bm^2. $$ Коэффициент b зависит от выбранного уровня выходного напряжения, при достижении которого мы считаем процесс завершившимся и в случае, если мы считаем зависимость являющейся квадратичной, в Scilab значение коэффициента можем определить как

b90=exp(ones(sz, 1)\(log(n90')-2*log(m')))

В следующей таблице приведём значения b для некоторых уровней.

Уровень завершения 50% 63% 80% 90% 95% 99%
b 0.21 0.34 0.58 0.86 1.14 1.78

Для грубых оценок можно вычислять коэффициент b по формуле $$ b \approx -0.38 \ln(1-L), $$ где L - уровень относительно предельного выходного напряжения. Тогда длительность достижения заданного уровня на выходе умножителя $$ n \approx -0.38 m^2 \ln(1-L). $$ С учётом того, что $$ L=\frac{U_{out}}{mU_a}, $$ где Uout - это абсолютное значение напряжения на выходе умножителя, которое достигается через n периодов, то можем выразить напряжение на выходе умножителя как функцию от номера периода n: $$ n \approx -0.38 m^2 \ln \left(1-\frac{U_{out}}{mU_a}\right), \\ \ln \left(1-\frac{U_{out}}{mU_a}\right) \approx -\frac n{0.38m^2}, \\ 1-\frac{U_{out}}{mU_a} \approx e^{-n/(0.38m^2)}, \\ U_{out} \approx mU_a\left( 1-e^{-n/(0.38m^2)} \right). \tag{15} $$ Ещё раз напомним, что равенство это приближённое.

В качестве примера на рис. 6 приведены графики переходного процесса в идеальном умножителе на 10 (амплитуда входного переменного напряжения равна 1). Синим цветом изображён результат моделирования с использованием рекуррентных соотношений (9), а красным - результат вычислений по приближённой формуле (15). На начальном участке переходного процесса наблюдается более быстрый рост выходного напряжения, чем даёт приближённая формула (15) за счёт первых звеньев умножителя, переходный процесс в которых завершается быстрее, чем в удалённых от входа звеньях.

Впрочем, мы рассматривали в этом документе максимальные за такт напряжения, а если брать минимальные или средние, то ошибка даже на начальных участках не будет большой.

Переходный процесс в идеальном умножителе на 10 Рис. 6

Можно записать (15) как функцию от времени t, если учесть что t=n*T=n/F, где T - период, а F - частота переменного питающего напряжения: $$ U_{out}(t) \approx mU_a\left( 1-e^{-\frac t{0.38Tm^2}} \right) $$ или $$ U_{out}(t) \approx mU_a\left( 1-e^{-\frac t{\tau}} \right), \\ \tau=0.38Tm^2=\frac{0.38m^2}F. $$ Постоянная времени \(\tau\) умножителя на m больше постоянной времени \(\tau_2=T/\ln2\) удвоителя напряжения в $$ \frac{\tau}{\tau_2} \approx 0.263m^2 \tag{16} $$ раз.

Если потребуем, чтобы полученная формула (16) была точной при m=2, т.е. в случае удвоителя давала значение 1, то мы должны немного изменить коэффициент при m2 и записать её в виде $$ \frac{\tau}{\tau_2} \approx \frac 1 4 m^2. $$ Но тогда мы можем записать приближение для функции - напряжения на выходе умножителя таким образом, что эта функция будет тоже точно описывать удвоитель напряжения (и в то же время будет достаточно хорошим приближением для общего случая): $$ \tau=\frac 1 4 m^2 \tau_2=\frac{Tm^2}{4\ln 2}=\frac{Tm^2}{\ln 2^4}=\frac{Tm^2}{\ln 16}, \\ U_{out} \approx mU_a\left( 1-e^{-t/\tau} \right), $$ $$ U_{out} \approx mU_a\left( 1-e^{-\frac{t\ln 16}{Tm^2}} \right), \tag{17} $$ $$ U_{out} \approx mU_a\left( 1-e^{-\frac{n\ln 16}{m^2}} \right). \tag{18} $$ В этих формулах коэффициент при m2, равный \(1/\ln 16 \approx 0.36\) незначительно отличается от коэффициента в формуле (15), равного 0.38. Поэтому формулы также будут являться хорошим приближением, описывающим переходный процесс в произвольном умножителе, и в отличие от (15), являются точными при m=2.

Переходный процесс в умножителе на 3

Умножитель напряжения на 3 является умножителем с нечётным коэффициентом, его выходное напряжение снимается с конденсаторов с нечётными номерами.

Схема умножителя на 3 Рис. 7

Как и в случае умножителя с чётными коэффициентами, начнём рассмотрение процессов в устройстве с отрицательной полуволны источника питания и определим состояние в конце такта. В таком случае мы найдём состояние умножителя к моменту достижения максимума выходного напряжения во время положительной полуволны, когда в данной схеме произойдёт подзаряд конденсаторов с нечётными номерами, и напряжения на них достигнут максимальных за период значений.

Обозначим как U1, U2, U3 напряжения на конденсаторах в начале некоторого такта работы умножителя, все диоды в этот момент закрыты. Сразу после включения, напряжения на конденсаторах считаем равными 0. В момент, когда напряжение источника достигает отрицательного амплитудного значения, напряжения на конденсаторах обозначим буквами с одним штрихом: U'1, U'2, U'3. В момент, когда u(t)=+Ua, напряжения на конденсаторах обозначим буквами с двумя штрихами, U''1, U''2, U''3.

Процессы в умножителе протекают точно так же, как это было описано для случая чётного коэффициента. Так, состояние системы в конце первого полутакта описывается уравнениями: $$ \begin{cases} U'_1-U'_2=-U_a, \\ U'_1+U'_2=U_1+U_2, \\ U'_3=U_3. \end{cases} $$ Первое уравнение системы записано на основе второго правила Кирхгофа для контура, содержащего u, C1, D2, C2 в момент, когда диод D2 закрывается (когда u(t)=-Ua). Второе уравнение описывает обмен зарядами между C1, C2 через D2 при условии, что ёмкости конденсаторов одинаковы. Третье уравнение записано на основании того, что D3 закрыт и ток через C3 равен 0.

Решение уравнения имеет вид $$ \begin{cases} U'_1=\frac 1 2(-U_a+U_1+U_2), \\ U'_2=\frac 1 2(U_a+U_1+U_2), \\ U'_3=U_3. \end{cases} $$ Для второго полутакта можем записать $$ \begin{cases} U''_1=U_a, \\ U''_2-U''_3=0, \\ U''_2+U''_3=U'_2+U'_3, \end{cases} \\ \begin{cases} U''_1=U_a, \\ U''_2=U''_3=\frac 1 2 (U'_2+U'_3). \end{cases} $$ Подставляя значения, найденные для величин со штрихом, получим $$ \begin{cases} U''_1=U_a, \\ U''_2=U''_3=\frac 1 2 \left( \frac 1 2 (U_a+U_1+U_2)+U_3 \right)=\\ =\frac 1 4 U_a+\frac 1 4 U_1+\frac 1 4 U_2+\frac 1 2 U_3. \end{cases} $$ Из того, что U''2=U''3 (напряжения на C2 и C3 в конце каждого такта, т.е. в начале каждого последующего равны) и в начальный момент U2=U3=0 следует, что в начале каждого такта эти напряжения равны: $$ U_2=U_3, $$ это позволяет исключить из системы уравнений величину U2 и рассматривать напряжения только на конденсаторах с нечётными номерами, которые в данном случае представляют наибольший интерес, поскольку их сумма образует выходное напряжение умножителя: $$ \begin{cases} U''_1=U_a, \\ U''_3=\frac 1 4 U_a+\frac 1 4 U_1+\frac 3 4 U_3 \end{cases} $$ или, обозначая индексом номер такта, на начало которого берётся значение величины, получаем $$ \begin{cases} U1_{n+1}=U_a, \\ U3_{n+1}=\frac 1 4 U_a+\frac 1 4 U1_n+\frac 3 4 U3_n, \\ U1_0=0, U3_0=0. \end{cases} $$

Применим Z-преобразование к полученным уравнениям; результат Z-преобразования U1 обозначим как X, а для U3 - как Y, величину Ua для краткости обозначим просто a. $$ \begin{cases} zX=a \frac z{z-1}, \\ zY=\frac a 4 \frac z{z-1}+ \frac 1 4 X+\frac 3 4 Y, \end{cases} \\ $$ Из первого уравнения системы имеем \(X=a/(z-1)\), подставляем это значение во второе уравнение: $$ zY=\frac a 4 \frac z{z-1} +\frac a 4 \frac 1{z-1}+\frac 3 4 Y, \\ Y(z-3/4)=\frac a 4 \frac{z+1}{z-1}, \\ Y=\frac a 4 \frac{z+1}{(z-1)(z-3/4)}=a\frac{z+1}{(z-1)(4z-3)}. $$ Представим в виде суммы двух дробей $$ a\left( \frac A{z-1}+\frac B{4z-3} \right)= a\frac{A(4z-3)+B(z-1)}{(z-1)(4z-3)}= a\frac{z(4A+B)+(-3A-B)}{(z-1)(4z-3)}, $$ откуда $$ \begin{cases} 4A+B=1, \\ -3A-B=1, \\ \end{cases} \\ \begin{cases} A=2, \\ B=-7. \end{cases} $$ $$ Y=az^{-1} \left(2\frac z{z-1}-7\frac z{4z-3}\right)= \\ =az^{-1} \left(2\frac z{z-1}-\frac 7 4 \frac z{z-3/4}\right), \\ U3_n=U_a\left(2-\frac 7 4 \left( \frac 3 4 \right)^{n-1}\right), \\ n \ge 1, $$ тогда выходное напряжение умножителя $$ U1_n+U3_n=U_a+2U_a-U_a -\frac 7 4 \left( \frac 3 4 \right)^{n-1}=\\ =3U_a\left( 1-\frac 7 {12} \left( \frac 3 4 \right)^{n-1} \right)= 3U_a\left( 1-\frac 7 {12} \frac 4 3 \frac 3 4 \left( \frac 3 4 \right)^{n-1} \right), \\ U1_n+U3_n=3U_a\left( 1-\frac 7 9 \left( \frac 3 4 \right)^n \right), \\ n \ge 1, \\ U1_0+U3_0=0. $$

Полученный результат можно считать соответствующим формуле (18), согласно которой $$ U_{out} \approx mU_a\left( 1-e^{-\frac{n\ln 16}{m^2}} \right) \approx 3U_a\left(1-e^{-0.31n}\right), $$ в то время как точное значение получили равным $$ U_{out}=3U_a\left( 1-\frac 7 9 \left( \frac 3 4 \right)^n \right)=3U_a\left( 1-e^{\ln(7/9)} e^{n\ln(3/4)} \right) \approx \\ \approx 3U_a \left(1-e^{-0.29n-0.25}\right), $$ а при сколь либо значительных n, например при n>5..10, можно считать $$ U_{out} \approx 3U_a \left(1-e^{-0.29n}\right). $$ Получается довольно хорошее соответствие, так при n=3 получаем относительную ошибку порядка 10%, при n=5 ошибка менее 5%, а при больших значениях ошибка становится совсем незначительной.

Переходный процесс в произвольном умножителе (нечётный коэффициент)

Для того чтобы завершить исследование переходных процессов, происходящих в умножителях напряжения при включении, осталось рассмотреть переходный процесс в умножителе с произвольным нечётным коэффициентом.

Схема умножителя напряжения с нечётным коэффициентом Рис. 8

Используя уже отработанную процедуру, составим уравнения, описывающие процессы в умножителе. Для первого полутакта работы (напряжение источника изменяется в направлении отрицательного амплитудного значения -Ua) получим следующую систему уравнений $$ \begin{cases} U'_1-U'_2=-U_a, \\ U'_1+U'_2=U_1+U_2, \\ U'_i-U'_{i+1}=0, \\ U'_i+U'_{i+1}=U_i+U_{i+1}, \\ i=3, 5, \ldots, m-2, \\ U'_m=U_m. \end{cases} \tag{19} $$ Как обычно, величины без штрихов обозначают напряжения в начале такта, с одним штрихом - в конце первого полутакта, т.е. в момент, когда напряжение источника питания достигает величины u(t)=-Ua. Решая систему относительно величин со штрихом, получаем $$ \begin{cases} U'_1=\frac 1 2 (-U_a+U_1+U_2), \\ U'_2=\frac 1 2 (U_a+U_1+U_2), \\ U'_i=U'_{i+1}=\frac 1 2 (U_i+U_{i+1}), \\ i=3, 5, \ldots, m-2, \\ U'_m=U_m. \end{cases} \tag{20} $$

Теперь запишем уравнения для второго полутакта работы умножителя, который завершается в момент, когда напряжение источника достигает значения u(t)=+Ua. Напряжения на конденсаторах в этот момент времени обозначим с помощью двух штрихов. $$ \begin{cases} U''_1=U_a, \\ U''_j-U''_{j+1}=0, \\ U''_j+U''_{j+1}=U'_j+U'_{j+1}, \\ j=2, 4, \ldots, m-1. \end{cases} \tag{21} $$ Тогда $$ \begin{cases} U''_1=U_a, \\ U''_j=U''_{j+1}=\frac 1 2 U'_j+U'_{j+1}, \\ j=2, 4, \ldots, m-1. \end{cases} \tag{22} $$ Как видим, U''j=U''j+1, но величины с двумя штрихами относятся к концу такта работы умножителя, а конец одного такта является началом следующего. Кроме того, напряжения на всех конденсаторах в начальный момент равны (они равны 0), поэтому можем записать, что $$ U_j=U_{j+1}, \\ j=2, 4, \ldots, m-1. \tag{23} $$ Подставим в выражения (22) значения для величин со штрихом из (20), а также учтём последнее равенство (23), которое позволяет исключить из рассмотрения не интересующие нас в данном случае напряжения на конденсаторах с чётными номерами. Также учитываем, что здесь i принимает нечётные значения, а j - чётные. Для всех j=2, 4, ..., m-1 имеем: $$ U'_j: i+1=j, i=j-1, U'_j=\frac 1 2(U_{j-1}+U_j)=\frac 1 2(U_{j-1}+U_{j+1}), \\ U'_{j+1}: j+1=i, U'_{j+1}=\frac 1 2 (U_{j+1}+U_{j+2})=\frac 1 2 (U_{j+1}+U_{j+3}). $$ Равенства справедливы для всех случаев, кроме двух следующих $$ U'_2=\frac 1 2 (U_a+U_1+U_2)=\frac 1 2 (U_a+U_1+U_3), \\ U'_m=U_m. $$

Выполняя подстановку, получаем $$ \begin{cases} U''_1=U_a, \\ U''_3=\frac 1 2 (U'_2+U'_3)=\frac 1 2 \left( \frac 1 2 (U_a+U_1+U_3)+\frac 1 2 (U_3+U_5)\right)=\frac 1 4 U_a+\frac 1 4 U_1+\frac 1 2 U_3+\frac 1 4 U_5, \\ U''_{j+1}=\frac 1 2 (U'_j+U'_{j+1})=\frac 1 2 \left( \frac 1 2 (U_{j-1}+U_{j+1})+\frac 1 2 (U_{j+1}+U_{j+3})\right)=\frac 1 4 U_{j-1}+\frac 1 2 U_{j+1}+\frac 1 4 U_{j+3}, \\ j=4, 6, \ldots, m-3, \\ U''_m=\frac 1 2 (U'_{m-1}+U'_m)=\frac 1 2 \left(\frac 1 2 (U_{m-2}+U_m)+U_m\right)=\frac 1 4 U_{m-2}+\frac 3 4 U_m \end{cases} $$ или $$ \begin{cases} U''_1=U_a, \\ U''_3=\frac 1 4 U_a+\frac 1 4 U_1+\frac 1 2 U_3+\frac 1 4 U_5, \\ U''_i=\frac 1 4 U_{i-2}+\frac 1 2 U_i+\frac 1 4 U_{i+2}, \\ i=5, 7, \ldots, m-2, \\ U''_m=\frac 1 4 U_{m-2}+\frac 3 4 U_m. \end{cases} \tag{24} $$

Рекуррентные соотношения (24) позволяют нам вычислять напряжения на нечётных конденсаторах умножителя в конце такта (т.е. в начале следующего такта) по напряжениям в начале данного такта, а значит, позволяют определить напряжение на выходе умножителя, которое равно сумме данных напряжений. Это даёт возможность выполнять моделирование идеального умножителя и, таким образом, мы получаем возможность определять состояние умножителя на любом такте его работы, рассматривая всю последовательность тактов от начального до требуемого.

Отметим, что найденные значения соответствуют максимальным значениям напряжений на конденсаторах за такт. Для того, чтобы найти минимальные значения, необходимо вычислить значения U'i.

Как показывает численный эксперимент, приближённое равенство (18) выполняется и в случае нечётного коэффициента m: $$ U_{out} \approx mU_a\left( 1-e^{-\frac{n\ln 16}{m^2}} \right). $$

author: hamper; date: 2017-01-29
  @Mail.ru