[Home]

Тригонометрические функции. Основные тригонометрические формулы

Определение тригонометрических функций
Основные свойства тригонометрических функций
Основные тригонометрические формулы
   Формулы приведения (sin (π/2+a)=...)
   Соотношения между функциями одного аргумента (sin2a+cos2=...)
   Функции суммы и разности двух аргументов (sin(a+b)=...)
   Функции двойного угла (sin(2a)=...)
   Суммы и разности тригонометрических функций (sin a + sin b = ...)
   Произведение тригонометрических функций (sin a sin b = ...)
   Квадраты тригонометрических функций (sin2a=...)
   Сумма синусов (косинусов) от членов арифметической прогрессии (1 + cos a + cos 2a + cos 3a + ...)

Страница содержит некоторое количество формул, для отображения которых используется библиотека MathJax. Если формулы не отображаются на странице правильно, вероятно браузер не поддерживает эту библиотеку, хотя библиотека имеет хорошую совместимость.



Определение тригонометрических функций

Тригонометрические функции - это следующие, относящиеся к классу элементарных, функции:

Обозначение Название Встречающиеся альтернативные обозначения
sin x синус  
cos x косинус  
tg x тангенс tan x
ctg x котангенс cot x, cotg x, ctn x
sec x секанс sc x
cosec x косеканс csc x, cosc x, csec x

Определения для тригонометрических функций вводят, рассматривая соотношения сторон в прямоугольном треугольнике. Таким образом можно определить тригонометрические функции острых углов.

Введение определений для тригонометрических функций с помощью прямоугольного треугольника

Синус острого угла треугольника - отношение противолежащего катета к гипотенузе, косинус - отношение прилежащего катета к гипотенузе, тангенс - отношение противолежащего катета к прилежащему и т.д. \( \def \%#1% {\mbox {#1} \,} \) $$\sin A=a/c,$$ $$\cos A=b/c,$$ $$\%tg% A=a/b.$$

Другой, более общий подход, состоит в использовании единичной окружности для определения тригонометрических функций.

Определение тригонметрических функций с помощью единичной окружности

Пусть A - точка окружности с центром в начале прямоугольной системы координат O и радиусом равным единице; α - угол между осью абсцисс и вектором \( \vec {OA} \). Углы отсчитываются от положительного направления оси Ox, при отсчёте против часовой стрелки угол считается положительным, при отсчёте по часовой стрелке - отрицательным.

Если (xα, yα) - координаты точки A, то синус и косинус определяются следующим образом: $$\sin\alpha=y_\alpha;$$ $$\cos\alpha=x_\alpha.$$

Все остальные тригонометрические функции могут быть определены через синус и косинус: $$\%tg% \alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha},$$ $$\%ctg% \alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha},$$ $$\sec\alpha=\frac 1 {\cos\alpha};$$ $$\%cosec% \alpha=\frac 1 {\sin\alpha}.$$

На практике обычно ограничиваются использованием функций sin, cos и tg. Остальные тригонометрические функции используются крайне редко, вместо этих функций сразу подставляют соответствующее им выражение.

Основные свойства тригонометрических функций

Название Область определения Множество значений Чётность Период
sin x (−∞, +∞) [−1, +1] Н
cos x (−∞, +∞) [−1, +1] Ч
tg x (−∞, +∞) кроме точек π/2+πn* (−∞, +∞) Н π
ctg x (−∞, +∞) кроме точек πn (−∞, +∞) Н π
sec x (−∞, +∞) кроме точек π/2+πn (−∞, -1]U[+1, +∞) Ч
cosec x (−∞, +∞) кроме точек πn (−∞, -1]U[+1, +∞) Н

* В этой таблице n - любое целое.

Знак значения тригонометрической функции зависит от того, в какой четверти находится аргумент. На следующем рисунке показаны знаки по четвертям для sin x и cos x (верхний/нижний символ).

Знаки функций sin, cos по четвертям (квадрантам)

Основные тригонометрические формулы

Формулы приведения.

Формулами приведения называют формулы вида: $$\sin\left(\frac\pi 2\pm\alpha\right)=\cos\alpha,$$ $$\cos\left(\frac\pi 2\pm\alpha\right)=\mp\sin\alpha,$$ $$\sin(\pi\pm\alpha)=\mp\sin\alpha,$$ $$\cos(\pi\pm\alpha)=-\cos\alpha,$$ $$\ldots$$

Обычно используются не в явном виде как формулы, а в виде правила, позволяющего перейти от тригонометрической функции аргумента \( \pi/2\pm\alpha,\, \pi\pm\alpha,\, 3\pi/2\pm\alpha \) и т.д. к функции от \( \alpha \).

Правило следующее: 1) знак перед функцией справа будет таким же, что и у исходной функции от её аргумента, если считать \( \alpha \) острым (для определения знака функции можем посмотреть, в какой квадрант попадает аргумент); 2) если постоянное слагаемое кратно \( \pi \), функция остаётся той же, что в левой части, а если не кратно \( \pi \), но кратно \( \pi/2 \) - меняется на кофункцию (sin на cos и наоборот, tg на ctg и наоборот).

Формулы приведения позволяют тригонометрическую функцию любого аргумента выразить через значения тригонометрических функций аргумента, лежащего в первой четверти.


Соотношения между функциями одного аргумента. $$\sin^2\alpha+cos^2\alpha=1$$ $$\%tg% \alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$$ $$1+\%tg% ^2\alpha=\frac 1 {\cos^2\alpha}$$


Функции суммы и разности двух аргументов.

Синус суммы: $$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$ Синус разности: $$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$$ Косинус суммы: $$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$ Косинус разности: $$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$$


Функции двойного угла.

Синус двойного угла: $$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$$ Косинус двойного угла: $$\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha$$


Суммы и разности тригонометрических функций.

Сумма синусов: $$\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta} 2 \cos\frac{\alpha-\beta} 2$$ Разность синусов: $$\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta} 2 \sin\frac{\alpha-\beta} 2$$ Сумма косинусов: $$\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta} 2 \cos\frac{\alpha-\beta} 2$$ Разность косинусов: $$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta} 2 \sin\frac{\alpha-\beta} 2$$


Произведение тригонометрических функций.

Синус на синус: $$\sin\alpha\sin\beta=\frac{\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)} 2$$ Синус на косинус: $$\sin\alpha\cos\beta=\frac{\sin(\alpha-\beta)+\sin(\alpha+\beta)} 2$$ Косинус на косинус: $$\cos\alpha\cos\beta=\frac{\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)} 2$$


Квадраты тригонометрических функций.

Квадрат синуса: $$\sin^2\alpha=\frac{1-\cos 2\alpha} 2$$ Квадрат косинуса: $$\cos^2\alpha=\frac{1+\cos 2\alpha} 2$$


Сумма синусов (косинусов) от членов арифметической прогрессии.

Сумма синусов от первых n членов арифметической прогрессии вида \( 0, \alpha, 2\alpha, 3\alpha, \ldots \) $$ \sum_{i=0}^{n-1}\sin i\alpha=0+\sin\alpha+\sin 2\alpha+\ldots+\sin(n-1)\alpha= \begin{cases} \frac{\sin\frac{n\alpha}2 \sin\frac{(n-1)\alpha}2} {\sin\frac\alpha 2}, \, если \alpha\neq 2\pi k, k\in Z;\\ 0, \, если \alpha=2\pi k, k\in Z. \end{cases} $$ Сумма косинусов от аналогичной последовательности чисел: $$ \sum_{i=0}^{n-1}\cos i\alpha=1+\cos\alpha+\cos 2\alpha+\ldots+\cos(n-1)\alpha= \begin{cases} \frac 1 2+\frac{\sin\frac{(2n-1)\alpha}2} {2\sin\frac\alpha 2}, \alpha\neq 2\pi k, k\in Z;\\ n, \, если \alpha=2\pi k, k\in Z. \end{cases} $$ Для краткости введём обозначения: $$ Ss_n(\alpha)=\sum_{i=0}^{n-1}\sin i\alpha,\\ Sc_n(\alpha)=\sum_{i=0}^{n-1}\cos i\alpha, $$ тогда для произвольной арифметической прогрессии: \( \phi, \alpha+\phi, 2\alpha+\phi, 3\alpha+\phi, \ldots \), сумма синусов (косинусов) от превых n членов этой прогрессии будет выражаться следующим образом: $$ \sum_{i=0}^{n-1}\sin(i\alpha+\phi)=Sc_n(\alpha)\sin\phi+Ss_n\cos\phi,\\ \sum_{i=0}^{n-1}\cos(i\alpha+\phi)=Sc_n(\alpha)\cos\phi-Ss_n\sin\phi. $$

Довольно интересен тот частный случай, когда \( \alpha=2\pi m/n \) (здесь m - целое число) или, иначе говоря, когда \( n\alpha \) образует какой либо период функции sin/cos (не обязательно минимальный положительный). Тогда $$ Ss_n\left(\frac{2\pi m}n\right)=0\,\text{(всегда)},\\ Sc_n\left(\frac{2\pi m}n\right)= \begin{cases} 0, \text{если }\sin\frac{\pi m}n\neq 0,\\ n, \text{если }\sin\frac{\pi m}n=0. \end{cases} $$

$$ \sum_{i=0}^{n-1}\sin\left(\frac{2\pi m}n i+\phi\right)= \begin{cases} 0, \text{если }\sin\frac{\pi m}n\neq 0,\\ n\sin\phi, \text{если }\sin\frac{\pi m}n=0, \end{cases}\\ \sum_{i=0}^{n-1}\cos\left(\frac{2\pi m}n i+\phi\right)= \begin{cases} 0, \text{если }\sin\frac{\pi m}n\neq 0,\\ n\cos\phi, \text{если }\sin\frac{\pi m}n=0. \end{cases} $$

author: hamper; date: 2016-06-15
  @Mail.ru